法向量是數學、物理學和工程學中經常使用的概念，用於表示平面或曲面在某一點的垂直方向。 法線用於廣泛的應用，例如在計算機圖形學中，它們可用於模擬照明和陰影效果在流體力學中，法向量可用於計算壓力和剪下力;在微分幾何中，法向量可用於定義曲率和曲率張量等。
那麼，如何找到法向量呢？這取決於平面或曲面的表示方式。 在本文中，我們將介紹三種常見的情況：引數方程、隱式函式和標量場，並給出相應的求法向量方法和示例。
如果平面或曲面可以用引數方程表示，即。
beginx=x(u,v)\\
y=y(u,v)\\
z=z(u,v)end
其中 $u，v$ 是引數，則可以通過以下公式找到任意點 $（x，y，z）$ 處的正常向量 $vec$$：
vec=\frac\times\frac
其中 $times$ 表示向量叉積，$frac$ 和 $frac$ 分別表示 $u$ 和 $v$ 的引數方程的偏導數向量及其在平面或曲面上的切向量。
例如，考慮引數方程為 的圓柱曲面。
beginx=r\cos u\\
y=r\sin u\\
z=vend
其中 $r$ 是常量，$u，v$ 是引數。 則任意點的法向量 $（x，y，z）$ 為 。
vec=\frac\times\frac=
beginvec&\vec&\vec\\
r\sin u&r\cos u&0\\
end(-r\cos u,-r\sin u,0)
可以看出，法向量的方向平行於圓柱面的軸線，直觀。
如果平面或曲面可以用隱式函式表示，即。
f(x,y,z)=0
其中 $f$ 是標量函式，則可以使用以下公式找到任意點 $（x，y，z）$ 的法向量 $vec$：
vec=abla f(x,y,z)
其中 $abla$ 是梯度運算元，$abla f（x，y，z）$ 是隱式函式的梯度向量，其方向與等值面的法向量方向相同。
例如，考慮乙個隱性函式為 的球體。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2=0
其中 $r$ 是乙個常數，表示球體的半徑。 則任意點的法向量 $（x，y，z）$ 為 。
vec=abla f(x,y,z)=\frac\vec+\frac\vec+\frac\vec=(2x,2y,2z)
可以看出，法向量的方向與從球心到該點的線是一致的，這也是直觀的。
如果平面或曲面可以用標量場表示，即。
z=f(x,y)
其中 $f$ 是標量函式，則可以使用以下公式找到任意點 $（x，y，z）$ 的法向量 $vec$：
vec=(-\frac,-\frac,1)
其中 $frac$ 和 $frac$ 分別表示標量函式的偏導數，分別為 $x$ 和 $y$，以及它們在平面或表面上的切向量。
例如，考慮標量場為 的拋物線。
z=f(x,y)=x^2+y^2
則任意點的法向量 $（x，y，z）$ 為 。
vec=(-\frac,-\frac,1)=(-2x,-2y,1)
可以看出，法向量的方向與拋物線開口的方向相反，這也是直觀的。