愛因斯坦的廣義相對論在描述引力如何運作以及它如何塑造宇宙的大尺度結構方面取得了巨大成功。 物理學家約翰·惠勒（John Wheeler）的一句話總結了這一點：“時空告訴物質如何移動;物質講述了時空是如何彎曲的。 然而，廣義相對論的數學也非常違反直覺。
因為它的基本方程非常複雜，即使是最簡單的陳述也很難證明。 例如，直到 1980 年左右，數學家才證明，作為廣義相對論主要定理的一部分，沒有任何質量的孤立物理系統或空間必須是平坦的。
這就留下了乙個問題，如果乙個空間幾乎是乙個只有小質量的真空，它會是什麼樣子。 它必須幾乎是平坦的嗎？
雖然質量越小導致曲率越小似乎很明顯，但當涉及到廣義相對論時，事情並沒有那麼簡單。 根據該理論，密集的物質濃度可以“扭曲”空間的一部分，使其高度彎曲。 在某些情況下，這種曲率可能是極端的，並可能導致黑洞的形成。 即使在物質含量很少的空間中，如果足夠集中，這種情況也會發生。
在最近的一篇文章中，石溪大學（Stony Brook University）的研究生董康漢（Conghan Dong）和加州理工學院（California Institute of Technology）的助理教授宋安托萬（Antoine Song）證明了，一系列質量減小的彎曲空間最終會匯聚成乙個零曲率的平面空間。
這一結果是廣義相對論在數學探索中的乙個顯著進步——在愛因斯坦提出他的理論乙個多世紀後，這一追求繼續得到回報。 皇后學院（Queens College）的數學家丹·李（Dan Lee）研究廣義相對論的數學，但沒有參與這項研究，他說，Dong和Song的證明反映了對曲率和質量如何相互作用的深刻理解。
東宋的證明涉及三維空間，但為了說明，先考慮乙個二維的例子。 把乙個沒有質量的平坦空間想象成一張平坦、光滑的紙。 在這種情況下，質量較小的空間從遠處看可能看起來很相似——也就是說，大部分是平坦的。 然而，仔細觀察可能會發現一些尖銳的尖峰或氣泡在這裡和那裡彈出——這是材料聚集的結果。 這些隨機的露頭將使紙張看起來像乙個儲存完好的草坪，偶爾會有蘑菇或莖從表面伸出。
Dong 和 Song 證明了數學家 Gerhard Huisken 和 Tom Ilmanen 在 2001 年提出的猜想。 該猜想指出，當空間的質量接近於零時，其曲率也必須接近於零。 然而，Huisken 和 Ilmanen 認識到，氣泡和尖峰的存在使情況變得複雜，它們在數學上彼此不同。 他們假設氣泡和尖刺可以被切斷，每次切割時都會在空間表面留下一小塊邊界。 他們建議，但無法證明，在移除這些麻煩的附屬物後，剩餘的空間幾乎是平坦的。 他們也不確定應該如何進行這樣的削減。
這些問題很困難，我沒想到會看到Huisken-Ilmanen猜想的解決方案，“Lee說。
猜想的核心是曲率的測量。 空間可以以不同的方式、不同的數量和不同的方向彎曲——就像乙個馬鞍（在二維空間中），它向前和向後彎曲，但向下向左和向右彎曲。 Dong 和 Song 忽略了這些細節。 他們使用乙個稱為標量曲率的概念，它將曲率表示為乙個數字，它總結了所有方向的完整曲率。
康奈爾大學的丹尼爾·斯特恩（Daniel Stern）說，董和宋的新工作是“我們迄今為止最有力的成果之一，向我們展示了標量曲率如何控制整個空間的幾何形狀。 他們的**說，“如果我們有乙個非負的標量曲率和乙個小質量，我們就可以很好地理解空間的結構。
Huisken-Ilmanen 猜想涉及質量穩步減小的空間的幾何形狀。 它規定了一種特定的方法來表示小質量空間與平面空間的接近程度。 這種度量稱為格羅莫夫-豪斯多夫距離，以數學家公尺哈埃爾·格羅莫夫和費利克斯·豪斯多夫的名字命名。 計算格羅莫夫-豪斯多夫距離的過程分為兩步。
第一步是找到豪斯多夫距離。 假設你有兩個圓圈，A 和 B從 A 上的任意點開始，計算它到 B 上最近點的距離。
獲得豪斯多夫距離後，就可以計算出格羅莫夫-豪斯多夫距離。 為此，請將物件放置在更大的空間中，以最小化它們之間的豪斯多夫距離。 在兩個相同圓的情況下，由於您可以將它們放在彼此的頂部，因此它們之間的格羅莫夫-豪斯多夫距離為零。 像這樣幾何上相同的物體被稱為“等距”。
當然，當被比較的物體或空間相似但不相同時，測量距離會更加困難。 Gromov-Hausdorff距離可以精確地測量最初位於不同空間的兩個物體的形狀之間的相似性（或差異性）。 “格羅莫夫-豪斯多夫距離是我們可以說兩個空間幾乎等距的最好方式之一，它給出了乙個'幾乎'數字，“斯特恩說。
在Dong和Song能夠將小質量空間與完全平坦的空間進行比較之前，他們必須切掉討厭的突起 - 緊密堆積的物質的狹窄尖峰，甚至可能隱藏微小黑洞的更密集的氣泡。 “我們把它們切開，這樣[切片的邊界區域]就很小了，”宋說，“我們發現，隨著質量的下降，面積變小了。
雖然這種策略聽起來像是作弊，但斯特恩說，在證明猜想時，通過切割氣泡和尖峰來進行某種預處理，這些氣泡和尖峰的面積會隨著質量的減少而縮小到零。
他認為，作為乙個小質量空間的代表，我們可以想象一張皺巴巴的紙，在再次被撫平後，仍然有尖銳的摺痕和褶皺。 您可以使用打孔器去除最突出的不規則之處，留下一張略微不平整的紙，上面有一些孔。 隨著這些孔的尺寸減小，紙張形貌的不均勻性也隨之減小。 你可能會說，在極限時，孔縮小到零，土丘和山脊消失了，你只剩下一張均勻光滑的紙——這是平坦空間的真正替代品。
這就是董和宋試圖證明的。 下一步是看看這些裸露的空間——去除了粗糙的特徵——如何與完全平整的標準相疊加。 他們所追求的策略利用了一種特殊的地圖，這是一種通過將乙個空間中的點與另乙個空間中的點相關聯來比較兩個空間的方法。 他們使用的地圖是在 Stern 和三位同事 Hubert Bray、Demetre Kazaras 和 Marcus Khuri 撰寫的一篇文章中開發的。 這個過程可以準確地說明兩個空間的接近程度。
為了簡化他們的任務，Dong和Song採用了Stern和他的合著者的另乙個數學技巧，即乙個三維空間可以被分成無限數量的二維切片，稱為水平集，就像乙個煮熟的雞蛋可以被雞蛋切片機的繃緊的金屬絲分成窄片一樣。
關卡集繼承了構成它們的三維空間的曲率。 通過將注意力集中在關卡集而不是更大的三維空間上，Dong和Song能夠將問題的維度從三維減少到二維。 Song說，這是非常有益的，因為“我們對二維物體了解很多。 我們有很多工具來研究它們。
宋說，如果他們能夠成功地證明每一組關卡都是“有點平坦的”，這將使他們實現證明質量非常小的三維空間接近平坦的總體目標。 幸運的是，這個策略奏效了。
展望未來，Song表示，該領域的下乙個挑戰之一是通過開發精確的程式來消除氣泡和尖峰，並更好地表徵被切割的區域，從而使證據更加清晰。 但就目前而言，他承認“我們沒有明確的戰略來實現這一目標。
Song說，另乙個有希望的途徑是探索Lee和紐約市立大學數學家Christina Sormani在2024年提出的乙個單獨的猜想。 Lee-Sormani猜想提出了乙個與Huisken和Ilmanen提出的問題類似的問題，但它依賴於一種不同的方法來測量形狀之間的差異。 Lee-Sormani 方法沒有像 Gromov-Hausdorff 距離那樣考慮兩個形狀之間的最大距離，而是詢問它們之間的空間體積。 體積越小，它們越接近。
同時，Song希望研究與物理學無關的標量曲率的基本問題。 “在廣義相對論中，”他說，“我們處理的是非常特殊的空間，這些空間在無窮遠處幾乎是平坦的，但在幾何學中，我們關心各種空間。
“這些技術預計在其他情況下也很有價值，”斯特恩說，這與廣義相對論無關。 “有一大堆相關的問題，”他說，等待著探索。