在數學研究和實際應用中，經常涉及各種發散級數。 數學家試圖客觀地為這種發散級數分配乙個實數或復數值，定義為相應級數的總和。 本文介紹了兩種最廣為人知的發散級數廣義求和方法，闡釋了切薩羅求和背後的均衡思想和遍歷理論，並給出了乙個有趣的方程證明。
撰寫者 |丁九（美國南密西西比大學數學系教授）
在初等微積分中研究過無窮級數收斂理論的讀者可能會問：“如果級數發散，它們怎麼能相加？“是的，他們的懷疑是值得稱讚的，應該大力推廣。 但是，本文將討論如何找到發散級數的“廣義和”。 這是乙個有趣而有用的問題，因為不僅在數學中，許多級數不幸地發散，而且在物理學中也是如此。 正如力學家孫伯華教授最近告訴我的那樣，求解玻爾茲曼方程的“查普曼-恩斯科格展開”是乙個棘手的發散級數問題，玻爾茲曼方程描述了非平衡熱力學系統的統計行為。
收斂還是發散，這是個問題。
任何標準的微積分教科書都嚴格定義何時將級數稱為“收斂”，收斂級數的“和”是什麼，以及何時將級數稱為“發散”。 給定乙個無窮級數。
其中 an 是實數的無限序列，稱為級數的總稱。 （在本文中，我們不新增括號“”或括號“（為了簡明扼要地顯示符號，因此 a 既表示序列的第 n 項，也表示序列本身，就像 f（x） 表示 x 中函式的值和函式本身一樣。 ）
定義給定級數的部分和級數，即 s 是級數的前 n 項之和。 因為項的數量是有限的，所以每個部分和 s 都是乙個可以計算的數字。 如果當 n 趨於無窮大時，零件和序列 s 收斂到乙個數字 s
也就是說，它被稱為系列。
收斂並收斂到 s。 在這種情況下，s 稱為級數之和，並被寫入。
s=
在本例中，
具有一定的數學意義，它表示乙個稱為“級數和”的實數。
相反，如果當 n 趨於無窮大時，零件和級數 Sn 不收斂到乙個數字（也稱為散度），則給出級數。
也說是發散的，這個時候，
它只是一堆數學符號的混合體，不代表任何數字，沒有任何數學意義，更不用說求和了。 但是，無窮級數的求和是基於對“和”的合理定義，而由於經典定義不能對級數求和，我們尋找的是能否對定義進行補充，“廣義求和”。
發散級數的“廣義求和”首先需要乙個合理的定義。 這裡的理性自然包括兩個基本要求的滿足。 一是，如果級數本身已經收斂到通常意義上的，那麼廣義求和法得到的“和”應該等於原意義上的級數之和。 這一要求表明，“廣義求和”具有“狹義求和”的“世襲性”。 另乙個要求是基於傳統求和方法的線性性質。 我們知道微積分中的許多運算，如極限、導數、積分等，都具有線性特性，如代數推導律[af（x）+bg（x）]。'=af'(x)+bg'(x)。序列也有類似的斷言：if。
和。 
如果兩者都是收斂級數，並且 c 和 d 是常數，則級數也是收斂的，並且有乙個方程。
我們希望發散級數的廣義求和也保持此性質。
切薩羅求和。
如何定義滿足上述兩個合理條件的發散級數廣義求和方法？乙個好主意是“平均”，或者使用乙個更時髦的術語：“切薩羅算術平均”。 這種方法用於處理非收斂序列，根據定義，序列的收聚或發散實際上是關於給定序列的部分和序列。 因此，讓我們考慮如何將非收斂序列轉換為“收斂序列”。 讓我們從乙個簡單的例子開始。
考慮序列 a=（-1） （n-1）。 它是在 1 和 -1 之間交替的無限數字序列，當然不會收斂。 但是，如果我們取本級數前 n 項的算術平均值，我們得到。
切薩羅算術平均序列，稱為原始序列 A，被寫出。
因此，當 n 趨於無窮大時，an 趨於 0。 這樣，對於這個發散序列，通過平均，我們得到了乙個收斂序列。
通常，對於序列 an，如果它對應於 Cassalon 算術平均序列。
收斂和收斂到極限 l，則稱原始序列 an 收斂並收斂到 l，在切薩羅算術平均值的意義上。 數學平均的想法不僅有助於數字序列的收斂，而且還使統計物理學成為一門受人尊敬的學科。 即使就人類社會的福祉和穩定而言，現代國家在稅收上實行的“富人多交稅，窮人得福利”的政策，也大多體現了仁慈的平等主義思想。
埃內斯託·切薩羅（1859-1906）是義大利微分幾何學家。 儘管他寫了一本關於糾角幾何的書，其中描繪了一類現在被稱為“切薩羅曲線”的分形，以及幾本關於微積分的教科書，但他提出了一種平均方法來收斂潛在的發散序列，這將對後代產生最大的影響。
讀者自然會問，如果數字序列已經收斂，它的一系列切薩羅算術平均值是否也收斂並收斂到相同的極限答案是肯定的。 這是序列極限理論中的乙個簡單的命題，在這裡我們不妨證明一下，順便回顧一下極限的“-n”語言。 設定乙個 l。 假設給定乙個正數，有乙個自然數 m，使得對於所有自然數 n>m，不等式 |a-l|m，有。
由於 m 是固定的，因此當 n 趨於無窮大時，上述不等式右端的第一項趨於 0，因此存在乙個自然數 n>m，使得當 n > n 時，該項小於 2，因此。
認證。 此外，很明顯，Cesaro平均運算是線性的，即序列Can+DBN的Cesaro平均值等於C的Cesaro平均值乘以A加上D的Cesaro平均值乘以B。 再次取極限，可以看出Chezarro平均值的極限運算滿足線性性質。 這樣，如果將用於發散序列的Chezaro算術均值方法移植到發散序列的廣義求和中，則該方法滿足上述遺傳力和線性兩個基本要求。
總而言之，我們有發散級數的切沙羅廣義求和算術平均方法：對於給定的發散級數。
如果是零件和序列。
在切薩羅算術平均值的意義上收斂到極限 s 稱為初級數。
在 Chesaro 算術平均值的意義上，有廣義和 s。 綜上所述，我們知道，如果級數本身收斂到 和 s，那麼它也會收斂到 Chezaro 算術平均意義上的廣義和 s。 此外，切薩羅的廣義求和算術均值法是一種線性廣義求和法。
舉乙個歷史上簡單且眾所周知的發散級數的例子：
它的部分和序列是 s=[1-（-1）] 2。 對於所有自然數 k：s （2k-1）=1 和 s 2k=0，因此序列 s 不收斂，因此級數發散。 另一方面，零件和序列的 Chesaro 算術平均值列為：
因此是 1 2. 或者，換句話說，在切薩羅算術平均值的意義上給出的系列的廣義和是 1 2。
上述例子的原因是，十八世紀的瑞士人萊昂哈德·尤拉（Leonhard Euler，1707-1783）也給出了這個系列的總和是1 2的結論。 然而，歷史上最多產的數學家玩弄了無窮級數，有時過於自由，因為他偶爾會自己為非收斂點的冪級數賦值，這就是尤拉的答案：他知道著名的冪級數求和公式（即具有公共比率 r 的幾何級數方程）。
其直接結果是 |r|<1）
因此，他輕率地將等式兩邊的 x=1 代入方程 1 2=1-1+1-1+1+1-...。然而，這與事實只有一步之遙。 今天，每個學過小學數理論的理工科學生都知道，上述冪級數的收斂半徑是1，收斂區只是乙個開區間（-1,1）。 因此，尤拉使用了錯誤的冪級數賦值方法，他得到的是發散級數的廣義和。 事實上，如果他將 -1 乘以如上所述的冪級數展開式的兩端，他會得到乙個函式項的非冪級數。
然後以同樣的方式代入 x=1，就有了同乙個常數項級數的另乙個“和”
這是多麼荒謬的“數學”！
泊松-阿貝爾概括和。
但是，如果尤拉不使用直接賦值法，而是在方程的左端取函式 1 （1+x）。
，我們得到另乙個意義上的廣義總和，與切薩羅廣義求和算術平均的結果相同。
推廣這種方法，我們得到了發散級數的第二個經典廣義求和：對於給定的發散級數。
正式寫出相應的冪級數。
假設該級數滿足不等式 0 的
那麼這個值 s 在泊松-阿貝爾冪級數的意義上稱為給定級數的廣義和。 法國數學家西蒙·丹尼斯·泊松（SiméonDenis Poisson，1781-1840）在三角級數的特殊情況下使用了這種方法，但他的想法植根於下一段定理的大師，偉大但為時過早的挪威數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802-1829），因此他們分享命名榮譽是合適的。
基於冪級數和函式極限意義上的“廣義和”的定義陳述，我們想起了微積分中關於收斂區間端點冪級數性質的阿貝爾定理：假設冪級數。
收斂半徑為 r>0。 如果。
收斂，則冪級數在閉合區間 [0， R] 內一致收斂。 “系列功能項。
在點 a 集上收斂到函式 f（x）“ 比在 a 上逐點收斂到 f（x） 要強得多，其定義為：
在 a 中，點 x 收斂於數 f（x），這意味著對於任何正數，都有乙個自然數 n=n（x， ），這樣當 n > n 時，可以看出逐點收斂定義中的自然數 n 不僅取決於 ，還取決於 x。 至於一致收斂性，在其定義中，自然數 n 的值不依賴於點 x：
一致地收斂到 a 上的 f（x），對於任何正數，都有乙個自然數 n=n（ ），使得當 n > n 時，對於 a 中的所有 x，有
由於一致收斂是數學分析中的乙個重要概念，我將舉乙個收斂不一致的級數的例子，或者問問我們的老朋友幾何級數。
幫助。 該系列在 a=[0， 1] 上收斂到任何地方。 如果它一致收斂在 a to 和函式 1 （1-x） 上，那麼對於乙個具體的正數 =1，有乙個自然數 n 使不等式。
[0， 1） 中的所有 x 均為真。 然而，初等代數提醒我們，只要。
是的，有。 這導致了矛盾。 因此，幾何級數不均勻收斂在 [0， 1] 上。
如果有些讀者對前一段有困難，可以這樣想象“非均勻收斂”：想象一群英雄和同一組馬匹同時奔向十里外的目的地。 這些人馬遲早會到達終點線，但這些馬遠遠落後於最好的跑步者。 如果把比賽看作是一系列的功能，那麼每個跑者都是“收斂”的，但馬和人之間的巨大速度差異導致到達終點線的速度“不那麼均勻”。
在 a 上一致收斂的乙個很好的好處是，只要項序列中的每個函式在 a 上是連續的，那麼序列的和函式也必須在 a 上是連續的。 回到阿貝爾定理的結論，因為冪級數中的每一項都是乙個冪函式，所以它自然是處處連續的，所以只要.
收斂，然後是冪級數。
求和函式 f（x） 在 [0， r] 上是連續的，尤其是在那裡。
這樣，如果進展。
已經收斂到乙個實數s，然後是冪級數。
在 x=1 處收斂，因此根據阿伯裡定理，它在閉區間 [0， 1] 中一致收斂到連續和函式 f（x），因此具有極限。
這表明基於冪級數的泊松-阿貝爾廣義求和方法是遺傳的。 它的線性性質來自代數運算的序列、級數和極限的線性性質。 因此，我們有了第二個廣義求和，它滿足遺傳力和線性的基本要求。
在瑜伽和光明之間。 那麼，切薩羅的廣義求和算術均值法和泊松-阿貝爾的廣義求和冪級數之間是否存在關係呢？是的。 它們之間的基本關係是，如果發散級數可以用前乙個泛化求和，那麼也可以使用後者，並且兩個泛化相等。 這個結果被稱為Fróbenius定理，證明如下：
到給定的系列。
切薩羅算術平均序列由假設、其部分和序列組成。
an=收斂於數 s，因此對於 any 給出的 >0，存在自然數 n，使得當 n > n 時，|a-s|
上面的公式介紹出來。 後者還保證了功率級數。
收斂到開放區間 （0， 1） 內的函式 f（x）。 由於序列 A 是有界的，並且冪級數。
收斂半徑為1，級數可以已知。
另一方面，到 0 到幾何級數。
逐項。
因此，有 x = 求和，作品集間隔 （0， 1） 中的每個 x，我們都有。
由於 n 是已取的正整數，而 s 是乙個常數，因此當 x 1 - 時，上述最後乙個不等式右端的第一項和第三項趨向於 0，因此存在乙個δ>，使得當 0<1-x
由於是任意的正數，這證明了這一點。
事實上，泊松-阿貝爾廣義求和冪級數法比切薩羅廣義求和算術均值法更強。 為了說明這一點，我們給出了乙個簡單的例子。 考慮明顯的發散級數（因為它的一般項數不趨向於0，這與級數收斂的必要條件相反：if 級數。
收斂，則一般項級數 A 為 0。 ）
因為。 不趨向於0，並且切薩羅的廣義求和算術均值方法（1）成功的必要條件不成立，因此該方法不適用。 但另一方面，由於功率串聯。
區間 （0， 1） 中有乙個總和。
當 x 1 時，它接近極限 1 4，因此該數是泊松-阿貝爾冪級數意義上上述常數項的發散級數的廣義和。
求出傅利葉級數在發散點處的推廣，可以較好地反映泊松-阿貝爾方法優於切薩羅方法。 設 f（x） 是乙個週期為 2 的週期函式，它的絕對函式可以在任何有界區間內積分。 考慮它的傅利葉級數。
哪裡;a 和 b 是函式 f（x） 的傅利葉係數。 當 x 固定時，對該級數應用泊松-阿貝爾廣義求和方法。 為此，我們建立了乙個關於變數 r 的冪級數（因為在這種情況下，字母 x 在其他地方使用）。
傅利葉係數的乙個基本性質是，當 n 趨於無窮大時，a n 和 b n 都趨向於 0，因此上述冪級數 a ncos nx + b nsin nx 的“係數序列”是一致且有界的，這導致級數為 0
重用代數恒等式。
這給出了積分表示式 f（x， r）。
上面使用的代數恒等式可以通過將左端乘以右端的分母來簡化，然後在三角學中使用和差積公式，但這種方法比較繁瑣。 它可以用複數縮寫：order。
那麼要證明的等式的左端是複數。
的真實部分，因為。
這個方程被證明，另乙個恒等式被證明。
等式（3）在“廣義求和”的概念出現之前，這種型別的積分通常被稱為“泊松積分”。 泊松已經研究了級數（2）和“泊松核”。
以上幾點。 德國數學家赫爾曼·施瓦茨（Hermann Schwarz，1843-1921）嚴格地證明了泊松-阿貝爾廣義求和方法下以下傅利葉級數的收斂性：如果f在x點有右極限f（x）和左極限f（x），那麼。
特別是，如果 f 在點 x 處是連續的，則此極限等於 f（x）。
平均和遍歷理論。
然而，認為泊松-阿貝爾廣義求和冪級數在解析數學中更受青睞可能是一種不正確的印象，因為它比塞薩羅廣義求和算術平均法更強。 事實上，遍歷理論是現代數學中的一門綜合性學科，從根本上講是關於平均數的研究。 各種“遍歷定理”，說白了，就是在切薩羅算術平均的意義上，研究不同種類的“運算元序列”的收斂性質。
泛函分析學者可能會認為耶魯大學的分析大師納爾遜·鄧福德（Nelson Dunford，1906-1986）和他的學生雅各布·Schwartz，1930-2009）與人合著了經典的線性運算元第一部分：一般理論，這是純數學分支的“聖經著作”。1988-89學年，我在密西根州立大學數學系學習博士生導師李天豔（1945-2020）講授的《遍歷理論論[0,1]》時，聽到他評論說：“這本書本質上是關於遍歷理論的。 “當時，我剛剛完成謝爾頓·阿克斯勒教授（1949-）教授的”高階泛函分析“學年課程，我使用的主要參考書包括著名的泛函分析學者John B.康威，1939-）。雖然我從阿克斯勒教授四分之三的精彩講座中學到了很多東西，但我在課堂上根本沒有聞到遍歷理論的味道。 在聽了李教授引人入勝的講座後，我的研究興趣從優化理論轉向遍歷理論。 為了確認導師“說的是真的”，也為自己盡快“上崗”打下堅實的基礎，我開始閱讀之前沒有翻過的《線性運算元I》。 全書長達730頁，最後一章的標題是“應用”，是關於遍歷理論的，而前七章實際上是其服務的“先決條件”。
從上世紀三十年代初馮·諾依曼的平均遍歷定理和布林霍夫的逐點遍歷定理開始，在過去的一百年中出現了無數遍歷定理。 作為代表，我只引用乙個關於矩陣的遍歷定理，因為學過初等線性代數的讀者都能理解。 假設 m 矩陣 s 的所有特徵值的最大絕對值為 1。 正如單位複數 e ix 的正冪序列 e inx 幾乎從不收斂（讀者可以使 x = 4 嘗試看看會發生什麼，然後檢查相應的 Chesaro 算術平均序列是否有限制），矩陣 s 的正冪序列 s n 通常不能收斂，除非 s 滿足其他性質， 比如它的元素都是積極的。但是，只要冪序列 s n 是一致有界的，它就是 Chezarro 算術平均序列。
當 n 趨於無窮大時，它收斂到矩陣 p。 這個極限矩陣 p 滿足方程 p=p 和 sp=ps=p，因此它是乙個投影矩陣，沿著矩陣 i-s 的值空間投影到 i-s 的零空間上，其中 i 是同階單位矩陣。
只需取 2 2 的排列矩陣 s≠i 即可充分理解上述結果。 由於 s=i，很明顯 s 的奇數冪等於自身，偶數冪等於單位矩陣，因此矩陣的冪序列 s 不收斂。 另一方面，簡單的計算表明，當 n 為奇數時，該序列的 Chezaro 算術平均序列 a 等於。
當 n 為偶數時相等。
因此，當 n 趨於無窮大時。 不難驗證 p 2=p 和 sp=ps=p，投影矩陣 p 的值空間是。
p 的零空間，而 p 的零空間是 i-s 的值空間。
不可思議的方程式。
回顧無窮級數求和的歷史，在十八世紀，對微積分各部分的發展做出了巨大貢獻的尤拉，有時迫不及待地檢驗級數是否收斂，而他那個時代的其他數學家則不顧後果地大量使用發散級數。 其中乙個主要原因是尤拉認為任何發散級數都應該有乙個自然和，但沒有給出收斂級數之和的明確內涵。 十九世紀的柯西（1789-1857）解決了無窮級數收斂的精確含義問題，他給出了級數收斂的嚴格數學定義。 然後，幾十年來，發散級數因為“無”和“無”而被分析家排除在外，似乎沒有資格進入優雅的數學殿堂。 2024年，亨利·龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）研究了所謂的“漸近級數”，並返回了發散級數。 然後，在 1890 年，切薩羅正式定義了某些發散級數的求和，今天被稱為以他的名字命名的廣義求和算術平均方法，儘管它在十年前被費迪南德·喬治·弗羅貝紐斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917 年）隱含地使用過。 如今，發散級數求和的方法已成為一門科學，除了本文介紹的兩種最著名的方法外，還有其他針對不同情況和目的定義的發散級數的廣義求和，如黎曼求和、赫德求和、拉馬努金求和等。
既然我們已經提到了傳奇的印度數學天才斯里尼瓦薩·拉馬努金（1887-1920），讓我們粗略地解釋一下為什麼他的求和方法產生了這個令人瞠目結舌的結果：1+2+3+4+...=-1 12 作為本文的結局。 這個奇數和左邊的級數通常被理解為發散到正無窮大，並且通常不能用切薩羅的算術平均值或泊松-亞伯的冪級數求和。 然而，在2024年2月27日寫給英國數學家戈弗雷·哈羅德（Godfrey Harold，1977-1947）的第二封信中，拉馬努金告訴了他這個令人難以置信的方程式。 這封信是這樣寫的：
親愛的先生，我非常高興地閱讀了您 1913 年 2 月 8 日的來信。 我一直在等待你的回覆，就像倫敦的一位數學教授寫信給我，要求我仔細研究布羅姆維奇的無窮級數，不要落入發散級數的陷阱。我告訴他，根據我的理論，級數的無限項之和：1 + 2 + 3 + 4 + = 1 12。 如果我告訴你這些，你會立即說瘋人院是我的家。 我詳細闡述這一點只是為了說服你，如果我在一封信中表明我將繼續做什麼，你將無法遵循我的證明方法。
在拉馬努金著名的《筆記本I》第8章中，他給出了兩個證明，第乙個是形式化的，缺乏論證，第二個使用了伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）的函式，這與嚴謹性是一致的。 它們描述如下：
表格“證明”：訂單。
s=1+2+3+4+5+6+…將兩邊乘以 4 即可得到。
4s=0+4+0+8+0+12+…。
通過“插入”第乙個等式來減去第二個等式，其中多個零在這裡上下對齊，你就在那裡。
s-4s=1-2+3-4+5-6+…，後級數和前一泊松-阿貝爾冪級數的推廣均為1 4。 因此，有乙個方程 -3s=1 4，解給出 s=-1 12。 這個證明當然不是令人信服的，但它激發了以下令人信服的證明。
嚴格證明：設Z=X+IY。 考慮黎曼函式。
當 z 的實部為 >1 時，上面的狄利克雷級數收斂於 和 （z）。 乘以系列的兩端即可得到。
減去兩個公式，就有了。
右端的交錯狄利克雷級數在其收斂區域內定義了狄利克雷函式 （z）。 因此，函式方程。
對於使兩個級數收斂的所有複數 z 都是如此。 儘管 z=-1 會導致序列發散，但它可以在複數分析中進行解析擴充套件，以便方程對於 z 的較大區域仍然成立。 此區域包含 -1，因此 -3 （-1） = （-1）。 解析擴充套件值 （-1） 等於 1-2+3-4+...。泊松-阿貝爾基於基於冪級數的 1 4 的廣義和這也可以從等式中看出。
設 Z=1 並注意 （1）=1 和 （2）=12 得到。 由此而來。
*內容僅代表作者觀點。
它不代表中國科學院物理研究所的立場。
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