數論為我們提供了取之不盡用之不竭的有趣真理——這些真理不是孤立的，而是內在聯絡的，隨著我們知識的增長，我們會發現它們之間新的，有時甚至是完全出乎意料的聯絡。 ”
高斯。 作者 |丁九（美國南密西西比大學數學系教授）。
讀者，將一張紙捲成圓柱形，找到乙個鉛筆尖，將其底部靠在圓柱體的外側，筆尖向外垂直於圓柱面。 如果保留兩支鉛筆，則繞圓柱平面轉一圈，或者更一般地說，使鉛筆垂直於圓柱平面，並繞其上任何不越過邊界周長的閉合曲線移動，您會看到鉛筆的點不斷移動，最後回到原來的位置。 如果將鉛筆尖的底部靠在紙筒的內側，並在圓圈內做同樣的事情，結果將是一樣的。 這意味著圓柱面是“雙面”的，它有內側和外側。 通過在其兩條邊之一上指定乙個固定邊，依靠“右手定則”來確定曲面上任何閉合曲線的方向——向前和向後。 這是每個孩子都能理解的幾何現象。
研究過曲面積分的讀者都知道，作為積分區域的曲面必須是側定的，否則曲面積分就無法討論。 上世紀80年代，我在密西根州立大學數學系的博士生導師李天燕教授告訴我，他教給初中兒子拓撲學的概念：拿一張窄紙，而不是像上面這樣把兩個短的相對邊粘在一起，形成乙個短的圓柱面; 取而代之的是，其中乙個短邊扭曲 180 度，然後粘附在另乙個短邊上。 這也會導致紙張表面。 然後，他讓兒子做與上一節相同的測試，結果發現，當鉛筆在乙個方向上繞著乙個閉合電路，這個方向幾乎與長對面幾乎相同，並保持垂直於表面時，鉛筆尖的末端方向與原來的方向相反！ 當然，當閉合電路小到足以圍繞表面上的一點形成乙個圓時，這種現象不會發生，但是導致“方向反轉”異常的閉合電路的存在充分說明了這個奇怪的表面具有與普通圓柱面完全不同的拓撲性質。
這個奇異的表面是“片面的”，沒有得到微積分大樓的房衛的認可，但它不僅具有視覺性，而且內涵豐富，它的專業名稱是“M Bius Strip”，以發現者的名字命名。
1.德國數學家和天文學家奧古斯特·費迪南德·比烏斯（1790-1868）的姓氏。 比他早幾個月的另一位發現者是德國數學家約翰·本尼迪克特·李斯特（Johann Benedict Listing，1808-1882）。 莫比烏斯帶是莫比烏斯一生中最著名的數學發現，因為人們一眼就能理解它。 然而，從他鮮為人知的數學著作中得出的莫比烏斯反演公式是本文的主題。
莫比烏斯反轉。
莫比烏斯反演公式最原始的思想是，我們熟悉級數部分以及級數與常用項級數之間的簡單雙邊關係。 級數的前 n 項的各部分之和為。 相反，級數的第 n 項可以寫成 a=s-s（約定 s=0）。 如果定義特殊級數：=1、=-1，當 n 2 時，=0。 那麼上面的部分和與一般術語的“相互表達”是當且僅當。
莫比烏斯反演公式有許多推廣和變體，但最著名和最簡單的乙個是“經典”，在數論和組合學中有許多用途。 為了理解這個原始公式，需要引入幾個基本術語。 首先，所謂的“反轉”是中學代數中反函式概念的概括。 當函式 y=f（x） 將不同的自變數值 x 反射到定義的域上的不同函式值時，函式 f 導致相應的逆函式 f，該函式將 f 的函式值 y 反射回導致該值的自變數的值：x=f（y）。 這樣，函式定義域中的所有 x 和值範圍內的所有 y 都建立了一對“反轉關係”：y=f（x） 當且僅當 x=f（y）。 例如，函式 y=x 的倒數是 x=y。 雖然乙個函式有乙個反函式，但我們不能為它寫代數表示式。 初等數學中可逆函式和逆函式的逆表示可以推廣到更高、更抽象的數學。
例如，如果在整個自然數上定義的所有序列都寫成 x，並且如果存在將 x 的每個序列映象為序列的對應關係 t，則這種變換通常被稱為“運算子”，尤其是在泛函分析學科中。 如果 t 將不同的序列映象到不同的序列，則存在逆運算子 t，它將 t 範圍內的每個序列映象回其 ** 序列，即 =t 當且僅當 =t。 這也給出了反轉關係。
現在，我們可以描述數論中經典的莫比烏斯反演公式。 設 f 是乙個“算術函式”，即它的域是所有自然數的集合，函式的值是乙個複數。 當然，算術函式可以等同於它在所有自然數上的值序列。 在數論中，如果自然數 d 是自然數 n 的因數，即 n=dq，其中 q 也是自然數，那麼這個關係寫成 d|n。對於所有自然數 n，以下公式。
定義了乙個新的算術函式 g。 那麼將 f 映象到 g 的運算元 t 有乙個逆運算元，它的表示式就是所謂的莫比烏斯反演公式。
i） 在上面定義的地方，它被稱為“莫比烏斯函式”：1）=1;如果 n 是 k 個異質素數的乘積，則 （n）=（-1）; 如果 n 的素數分解包含素數平方，則 （n）=0。
從歷史上看，莫比烏斯反演公式的來源是萊比錫大學莫比烏斯教授於 1832 年用德語發表的一篇文章**，翻譯成英文為“一種特殊型別的級數反演”）。然而，本文所研究的“反演問題”與上述（*）和（i）無關，而是在級數變換的逆級數變換f（x）=中尋求係數級數與原始係數級數之間的關係。 然而，在這篇在數學史上留下名字的文章中，他給出了後世命名的莫比烏斯函式的表示式，以及它的因數和公式。
莫比烏斯函式。
鑑於莫比烏斯函式在反轉公式中發揮的關鍵作用，讓我們來看看它的基本性質。 讓我們熟悉一下莫比烏斯數列中的前十幾個數字：（1）=1、（2）=-1、3）=-1、（4）=0、5）=-1、6）=1、7）=-1、8）=0、9）=0、10）=1、11）=-1、12）=0。該函式的第乙個基本性質是它是乘法的，即只要有兩個自然數 m 和 n 是互質的（除了 1 之外沒有正公因數），方程 （mn） = （m） （n） 成立。 事實上，當mn=1時，m=n=1，所以（mn）=1=（m）（n）。 如果 mn>1，則設定 m=p...。p 和 n = q....q，其中 p ,...、p 和 q,...，q 是不同的素數，則 （mn）=（-1）=（-1）（-1）= （m） （n）。當 m=1 或 n=1 時，上面的等式也成立（請注意 1 不是質數）。 現在 m 和 n 中至少有乙個是質數平方的因數，那麼素數的平方也是 mn 的因數，所以 （mn）=0= （m） （n）。 以上是直接證明，作為練習，讀者也可以用數學歸納法給出第二個證明，這是訓練大腦的好機會。 從 0 = （4）≠ （1）（-1） = （2） （2） 開始，莫比烏斯函式不是“完全乘法”的，即方程 （mn） = （m） （n） 並不總是成立。
根據定義，（1）=1。 讓我們證明乙個非常有用的方程：對於任何自然數 n，大於 1
例如，當 n=20=2·2·5 時，其正因數為 1、2、4、5、10、20，因此存在。
上面的例子隱藏了等式（1）證明的想法。 根據算術基本定理，讓 n 的素數分解，由於 n 的因數 d 是平方數 （d）=0 的倍數，因此方程 （1） 左邊的總和只需要考慮為 p 和 p ,...，是 p 中一些不同數的乘積，d = 1。 這些 d 是： 1=c（k， 0） 1， c（k， 1） p， c（k， 2） pp， ....c（k， k） = 1 pp....p，其中 c（k， i）=k！/[i!(k-i)!] 是從 k 個物件中一次選擇 i 以形成乙個組的所有組的數目。因此，二項式定理，
現在讓我們開始證明莫比烏斯反演方程 （i）。 首先，根據算術函式 g 的定義，交換和的順序（原理等價於將一組有限的數字分成兩種方式的組，將組中的數字相加，然後將每種方式的總和數相加。 在最簡單的情況下，將一組排列在長矩陣中的數字相加，無論它們是逐行相加還是逐列相加，結果都是一樣的，即（i）的右端。
當 c = n 時，當 1 c
這證明了（i）。
從算術函式 f 到算術函式 g 的函式值 g（n），由於方程 （i） 的定義和反演僅以有限和的形式表示，因此我們只使用莫比烏斯函式和方程 （1） 的因數來證明莫比烏斯反演公式 （i） 在“初等位置”。 同理，可以證明，如果 f 和 g 滿足 （i），那麼它們也滿足 （*） F 的 M Bius 變換和 F 的逆 M Bius 變換稱為 f。 請注意，還有乙個英文數學術語 m bius 變換，在中文中也被翻譯成“莫比烏斯變換”，它指的是將複數映象為複數 w=（az+b） （cz+d） 的線性分數變換。
如果 f 和 g 在莫比烏斯變換中分別被 in f 和 in g 替換，則 （*） 和 （i） 以乘法的形式暗示以下莫比烏斯反演公式。
當且僅當
mi） 莫比烏斯函式是多產的，其因子求和算術函式通常表示為 ，（n）=滿足 （1）=1 和 （n）=0（n>1）。顯然，這也是一種產品功能。 這個性質可以推廣為一般結論，即如果算術函式 f 是生產性的，那麼由 （*） 定義的算術函式 g 也是生產性的。 可以這樣證明：讓自然數 m 和 n 互助。 由 （*） 定義。
因為 m 和 n 除了 1 之外沒有正公因數，所以 d = ab，其中 a|m 和 b|n。顯然，A 和 B 是相互的，所以有。
狄利克雷卷積。
研究過傅利葉變換的讀者會熟悉函式之間的卷積運算。 兩個函式 f 和 g 的卷積 f*g 定義為乙個函式和另乙個函式在反射和位移後的乘積的積分，表示乙個函式的形狀如何被另乙個函式改變。 如果 f 和 g 的定義域都是整個實數軸，則它們的卷積是。 使用積分的變數代換方法，很容易證明f*g=g*f，即卷積運算充滿了**變化規律。 傅利葉分析中的卷積定理說，如果 f 和 g 分別是 f 和 g 的傅利葉變換，那麼 f 和 g 乘積的逆傅利葉變換就是 f 和 g 的卷積。 拉普拉斯變換也有乙個類似的卷積定理，常用於工程數學。
那麼，卷積的思想和方法是否也與“莫比烏斯反演”有關呢？ 答案是肯定的！ 這是數論中用於算術函式的狄利克雷卷積，這個概念只是莫比烏斯反演的直接擴充套件。 它的定義與莫比烏斯反演方程（i）右端的表示式非常相似，只是莫比烏斯函式被一般函式所取代：設f和g為算術，則f和g的狄利克雷卷積為算術函式。
很明顯，狄利克雷卷積也像整數乘法一樣是交換的。 此外，在函式的加法和狄利克雷卷積的“乘法”內涵下，所有算術函式的總和也像所有整數的整數一樣形成乙個可交換的環，稱為狄利克雷環。 整數環的乘法單位是正整數1，而狄利克雷環的乘法單位是前面提到的算術函式，其正式名稱為“恒等算術函式”，具有恒等式。 當然，這並非巧合。 事實上，使用與上面的莫比烏斯反演公式相同的方法，可以快速驗證 f* = *f=f。
此外，狄利克雷卷積與整數乘法一樣，滿足關聯和分配性質：（f*g）*h=f*（g*h） 和 f*（g+h）=f*g+f*h。 在狄利克雷環的情況下，當且僅當算術函式 f 滿足 f（1）≠0 時，它具有狄利克雷逆函式，即存在乙個算術函式 f，使得 f*f= 。 特別是，常數函式 1 的狄利克雷逆函式是莫比烏斯函式，即在下乙個引數中存在關係 1* = 必需。 在這裡，我們用 1 來表示乙個函式，在一組自然數上到處都是 1 的函式，它的名字是“單位算術函式”。
借助強大的卷積工具，我們可以更簡潔地證明莫比烏斯反演公式。 首先，方程 （*） 可以寫成卷積形式 g=f*1。 此外，反演方程（i）從右到左的推導過程為。
反之，在（i）為真的條件下，通過以下步驟推導出（*）為真：
可以看出，在狄利克雷卷積的背景下，經典莫比烏斯變換的公式為：
g=f*1 當且僅當 f=g*。
一般的理工科學生可能從傅利葉級數或偏微分方程邊界值問題中知道了德國數學家Gust** Lejeune Dirichlet（1805-1859）的名字，但不要誤以為他只是“解析數學”，因為今天幾乎所有的數學家都精通一門手藝。 他還是數論大師，開創了解析數論的分支。 功能的現代定義也源自他，使當今世界各地的中學生都能從這個最合理的定義中受益。
由於莫比烏斯反演只是單位算術函式 1 的狄利克雷逆是莫比烏斯函式這一事實的“同義詞”，因此原始莫比烏斯變換雙公式 （*） 和 （i） 可以立即推廣為以下一般反演公式： 假設算術函式有乙個狄利克雷逆，那麼。
當且僅當更簡潔、更引人注目的卷積形式是 g= *f 當且僅當 f= *g。 如果你把卷積符號看作是小學生都知道的算術乘法符號，那麼當且僅當 3=2-1 6 時，它就會像 6=2 3 一樣簡單。 由此可見，抽象數學並不是那麼難懂的。
我們給出了經典莫比烏斯反演公式的另一種推廣，該公式將自然數集上定義的算術函式推廣到域 [1， . 為了顯示與之前定義的域的差異，此處的函式將用大寫字母表示。 設 f 和 g 是兩個函式，它們將 [1 反射成一組複數，滿足方程。
其中 [x] 是小於或等於 x 的最大自然數。 我們將推導出以下反演公式。
其實，只要用和證明（i）一樣的方法，從（ ）的右端推導出到左端：
上面的第二個等號是因為按 mn=k 分組，重新排列了求和的順序。
在離散情況下，對應於一般式 （ ）、（ ） 和 （ ） 的廣義形式為：
當且僅當尤拉函式。 由於經典的莫比烏斯反演公式是為數論而建立的，因此不給出它在數論中的具體應用似乎是不合理的。 讓我們以數論中著名的尤拉函式為例。 該函式由萊昂哈德·尤拉（Leonhard Euler，1707-1783）於1763年引入，其在自然數n處的值（n）定義為不大於n且與n互質的自然數個數。 前十個尤拉函式值為 （1）=1， （2）=1， （3）=2， （4）=2， （5）=4， 6）=2， 7）=6， 8）=4， 9）=6， 10）=4。
由於每個自然數都是素數的乘積，因此我們計算多少 （p） 等於素數，其中 p 是素數。 從 1 到 p 的 p 和 p 的自然數之間的最大公因數只能是 1、p、p,...，p，因此與它的最大公因數大於 1 的自然數是 p、2p、3p,...，pp=p，它們總共有p，剩下的自然數與p互化，所以有公式（p）=p-p。
尤拉函式是積分的，即對於任何互質自然數 m 和 n，都有 （mn）= （m） （n）。 我們只簡單地證明 m = p 和 n = q，其中 p 和 q 是異質素數，並且通常可以證明相同的方法。 從上一段中我們知道，在小於p的自然數中，有（p）=p-p和p互質素數，它們的集合是p; 同樣，在小於 q 的自然數中，有 （q）=q-q 和 q 是互素數，它們的集合是 q。 根據中國餘數定理，這兩個集合的乘積 p q 與所有不大於 pq 且與它們呈素數間數的自然數呈一一對應關係。 換句話說，假設給出 p 中的數字 A 和 q 中的數字 b，並給出數字 ab
對於任何自然數的質因式分解，確定尤拉函式的乘積，稱為尤拉乘積公式。
上面用到的漢語餘數定理又稱孫子定理，這個“孫子兵法”與《孫子兵法》無關。 在南北朝的《孫子經》中，有乙個算術題：“有些東西不知其數，剩三三，剩五五，剩七。 問事物的幾何形狀？ 最小數的答案是 23，其解的理論化成為關於一元線性全等方程組的“孫子定理”。 這裡只給出了兩個方程的特殊版本：讓整數 m 和 n 相互啟動。 然後對於任何整數 a 和 b，乙個全等方程。
有乙個解 x = 和 + bcm，其中整數 c 和 d 滿足 cm + dn = 1。
現在讓我們對尤拉函式的因數求和： . 多少錢？ 當 n=p 時，則。
當 n = pq 時，則 n 的每個因數都可以寫成 p 的因數和 q 的因數的乘積，所以有。
在正確的一般情況下，事實證明它本質上是相同的。 演示的公式。
由卡爾·弗里德里希·高斯（1777-1855）創立。 如果我們使用狄利克雷卷積形式，它是 *1=id，其中 id 是恒等函式。
莫比烏斯反演公式現已推出。 將 （i） 應用於上面的高斯方程，得到以莫比烏斯函式表示的尤拉函式。
上面的表示式為找到尤拉函式的狄利克雷逆提供了線索。 從 （n） 表示式中刪除 n 並將 d 向上移動到分子中的分母定義了乙個算術函式。 然後，因此。 圓多項式。
讓我們對一類多項式使用莫比烏斯反演公式。 多項式方程 z-1=0 的復解稱為 1 的第 n 次方根，它們是。
，那麼上面的n個根可以寫成：的冪，其中k和n的冪是1的原始根。 原初根的等效定義是它是 z-1 的根，但不是任何低多項式 z-1 的根。 原始根具有以下屬性：implicit n|l。
給定 n，其根恰好是所有原始根的第乙個多項式稱為 n 階的圓多項式，即
在上面的等式中，gcd（k， n） 表示 k 和 n 的最大公因數。
對於任何第 n 個根 z，使得方程 z=1 成立的最小自然數 d 稱為 z 的階數，它滿足 d|n。此屬性可用於證明以下多項式方程。
事實上，設 z 是 （**） 中右多項式的零點，那麼對於 n 的正因子 d，則 z=1。 設 n=dm，則 z=（z）=1=1。 另一方面，如果 z = 1，則 z 的階數 d 可以被 n 整除，因此 z 是 1 的原始 d 根，即它是圓多項式的零點。 （*公式。
將莫比烏斯反演公式 （MI） 的乘法形式應用於分數圓多項式的顯式表示式：
無限級數。 到目前為止討論的級數都是“無窮級數”，即無限數的和。 考慮下面的幾個無窮級數，在進行“級數一般項群重排”的莫比烏斯反轉手術時，需要保證操作是正確的，而手術成功的充分條件是相關級數的“絕對收斂”，一旦無窮級數發布，這個假設就不作解釋。 原因很簡單：僅僅乙個有條件收斂的級數就可以重新排列一般項的級數，以便新級數改變其總和。 讓我們首先考慮一類特殊的系列，以博學家約翰·海因里希·蘭伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）的姓氏命名。 對於無限序列，假設 |x|<1，使用比例級數求和的公式，有。
上述方程的左端稱為朗伯級數，右端表示它等於冪級數，其中總和特別滿足 （*），如果由於存在恒等式。
如果你拿走，那麼。 將 x=e 替換為 Lambert 級數公式中的變數，得到它的另一種形式：
類似的方法可以應用於所謂的狄利克雷級數。 使用與 Lambert 級數相同的技術，將黎曼函式的級數表示式乘以狄利克雷級數。
特別是，f（n） 是莫比烏斯函式 （n），因為（參見前面的狄利克雷卷積方程 1* = ），我們得到函式倒數的級數表示式。
乙個更一般的方程可以通過 （$ 公式的證明思想來推導。
意外連線。
在這一點上，沒有乙個莫比烏斯反演公式及其應用超出了純數學的領域。 難道它沒有在其他學科中得到應用嗎？ 至少英國數論家戈弗雷·哈羅德·哈德（Godfrey Harold Hard，1877-1947）堅信，只有微積分這樣的“低階數學”才能被應用科學家玩弄，數論被數學王子高斯視為“數學女王”，他只能欣賞它的美，卻不能被分配任務。 全球物理學界似乎並沒有真正關注莫比烏斯反演公式。 直到1990年，頂級物理學期刊《物理評論快報》（Physical Review Letters，簡稱PRL）在第64卷第11期刊登了一篇由中文單獨署名的**，甚至驚動了當時的《自然》主編，為其發表了整版的評論。
中國學者陳南賢（1937-）畢業於北京大學物理系，1984年獲賓夕法尼亞大學電氣工程與科學博士學位。 這篇獨特的文章發表七年後，他被選為中國科學院院士。 文章的標題是“修改莫比烏斯反演公式及其在物理學中的應用 rev. lett. 64，1193；1990）”。
那麼，陳教授修正的莫比烏斯反演公式是什麼呢？ 它與經典公式在形式上最大的區別在於，新公式是一對無窮級數表示式，而後者是前者的逆表示（為了與本文符號的一致性，我在原文中將a改為g，b改為f，x）。
當且僅當 (cnx)
乍一看，上面的公式與前面的公式（**和（ ）的不同之處僅在於將無窮級數替換為無窮級數。 恰恰是從貧困到無窮的飛躍，讓人覺得證明不會那麼“初級”，必須插入極限思維才能有所幫助。 事實是，作者在文章末尾的附錄中提供的證明還是初級的，唯一附加的條件是所討論的系列的絕對收斂，這是很自然的。 不幸的是，在《數學年鑑》（與PRL相提並論的領先數學期刊）等數學期刊的眼中，有些地方的寫作缺乏嚴謹性，寫作就是乙個例子。 這或許就是理論物理學家的寫作風格，要知道楊振寧先生曾經說過一句名言：“現代數學書可以分為兩種，一種是一頁都看不懂，一種是一行都看不懂。”
我正在看Hardy&Wright（e.）。 m.Wright， 1906-2005）發現，在本書的第237頁，定理270[令我驚訝的是，這本書在短短400多頁中就有460個定理！ 我讀過的另一本書是《代數特徵值問題》（The Problem of Algebraic Eigenvalues），作者是詹姆斯·威爾金森（1919-1986）也是英國人，他有一本更大的書（662頁），但只列出了四個編號的定理。 ]，這與陳教授用來求解三個物理逆問題的廣義公式（cnx）基本相同：
當且僅當 (hw)
在證明了書中經典的莫比烏斯反演公式（i）和實際變數情況（ ）的廣義形式之後，上述兩位作者迫不及待地把證明定理270的任務交給了讀者：讀者在定理263的幫助下構建證明應該沒有困難; but some care is required about convergence.（讀者在定理 263 的幫助下構建證明應該沒有困難; 但需要注意趨同。 受此鼓舞，我把我的論文攤開，做了他們布置的練習，發現它幾乎和證明（ ）一模一樣。 接下來，我將使用相同的方法來證明家庭作業 （HW） 問題 （HW） 驗證 （cnx）：
上面的第二個方程是正確的，因為數字的無限平方矩陣具有以下對求和進行分組和重新排列的方法：
其中，訂單。 這樣，使用具有無限複數的 One 而不是有限和。 當然，正如我上面所說，需要事先假設相關系列的絕對收斂性。 這裡，條件是：
其中 d（k） 是 k 的正因子數。
由於莫比烏斯函式是單位算術函式 1 的狄利克雷逆函式，因此同樣的推理證明了比 （cnx） 更“修正”的莫比烏斯型反演公式：對於狄利克雷逆的算術函式，當且僅當 （gcnx）。
及其等效形式。
當且僅當 (ghw)
希望這兩個公式也能在物理科學中得到應用。
陳南仙院士不僅在研究上富有創造力，而且熱衷於為公眾寫作。 我是如此聞所未聞，直到 2020 年我才知道他的名字，當時我讀到他為《數學文化》寫的一篇漂亮的文章，“他的人民和他的事務的終結”。 標題中的“莫弼”是他採用的M比烏斯的譯本，原因在文章第一段：“筆者認為精通英德讀音的王竹熙先生（1911-1983）譯得最好：莫弼。 “我驚嘆：物理學家是不同的！ 同時，他也納悶：為什麼自己對莫比情有獨鍾？ 現在我恍然大悟：30年後，德國數學家們在乙個半世紀後找到了這位中國物理學家的知心朋友！
因為陳南賢教授的PRL**吹響了將數論的旗幟插在物理山頂的號角，世界頂級期刊《自然》當年自然對他格外關注。 主編約翰·羅伊登·馬多克斯爵士（1925-2009）在1990年3月版的《新聞與觀點》第344卷上寫了一篇一頁的評論，其中預設了：“誰說數論是純粹的學術，與實用性無關？ 古代的莫比烏斯定理，出乎意料地被證明對解決物理反演問題有用，可能有重要的應用（誰說數論是嚴格的學術？ an old theorem due to mobius has unexpectedly proved to be a way of solving physical problems of inversion that may h**e important applications)。這篇評論稱讚陳“通過他巧妙的應用將莫比烏斯反演定理付諸實踐”，並列舉了這位富有創造力的物理學家在他的PRL**中詳述的三個實踐例子。 在評論的最後，主編認為有理由猜測，“陳的證詞表明，即使是莫比烏斯也在阻止現代世界的奧秘，現在將有一小群人搜尋現代世界的奧秘，希望在以前可能被誤認為貧瘠土地的領域找到其他有用的工具。 ( it is fair to guess that, with chen's proof that even mobius has something to tell the modern world, a small army will now be scouring the literature of the theory of numbers in the hope of finding other useful tools in what may h**e been unjustly regarded as a backwater.)”
他是對的。 純數學的種子，無論是永恆的公式還是熱氣騰騰的理論，只要它們在廣闊的物理世界中廣泛播種，就有可能結出果實。 物理學家們，多接觸數學吧！ 數學家們，和物理學家交朋友吧！
本文由科普中國明星計畫專案支援，由中國科協科普部出品，中國科技出版社監理，北京中科銀河文化傳媒***
*：回歸基礎。 編輯：wnkwef