直到 19 世紀初，熱量還是乙個謎。 這到底是什麼？是像水一樣的液體嗎？它似乎確實在流動，但你不能把它握在手裡，也不能看到它。 雖然你可以通過跟蹤冷卻時的溫度變化來間接測量乙個熱物體，但沒有人知道物體內部發生了什麼。
熱的秘密是由乙個經常感到寒冷的人揭示的。 傅立葉在10歲時成為孤兒，十幾歲時身體虛弱，患有消化不良和哮喘。 作為乙個成年人，他認為卡路里對健康至關重要。 即使在夏天，他也會呆在乙個過熱的房間裡，把自己裹在厚厚的外套裡。 在他科學生涯的各個方面，傅立葉都專注於並痴迷於熱。 他發明了全球變暖的概念，並且是第乙個解釋溫室效應如何調節地球平均溫度的人。
1807年，傅立葉用微積分解開了熱流的奧秘。 他提出了乙個偏微分方程，可用於計算物體（如熾熱的鐵棒）在冷卻過程中的溫度如何變化。 傅立葉驚訝地發現，無論冷卻過程開始時棒的溫度多麼不均勻，這個偏微分方程都可以輕鬆求解。
想象一下，一根又長又細的圓柱形鐵棒在鐵匠鋪中加熱不均勻，周圍散布著冷熱點。 為簡單起見，我們假設鐵棒的外面有乙個完全絕緣的套筒，這樣熱量就不會散失。 在這種情況下，熱量流動的唯一方法是沿著鐵棒的長度從熱點擴散到冷點。 傅利葉假設（並經實驗證實）鐵棒上某一點的溫度變化率與該點的溫度與兩側相鄰點的平均溫度之間的不匹配成正比。 我所說的相鄰點是指在我們感興趣的點的兩側彼此無限接近的兩個點。
在這些理想化的條件下，熱流的物理過程變得更加簡單。 如果乙個點比它的鄰居更冷，它就會變熱;如果乙個點比它的鄰居更熱，它就會冷卻下來。 失配越大，溫度平衡得越快。 如果乙個點的溫度正好等於其鄰居的平均溫度，則一切都處於平衡狀態，熱量不再流動，並且該點的溫度將在下一刻保持不變。
通過比較乙個點的瞬時溫度與其相鄰點的瞬時溫度，傅利葉建立了乙個偏微分方程，我們現在稱之為熱傳導方程。 它包含兩個自變數的導數：乙個是時間的無窮小變化（t），另乙個是鐵棒上位置（x）的無窮小變化。
傅利葉自我強加問題的困難在於，熱點和冷點的初始排列可能是隨意的。 為了解決這個普遍問題，傅立葉提出了乙個似乎過於樂觀，甚至魯莽的解決方案。 他聲稱可以使用等效的簡單正弦波總和來代替任何初始溫度分布模式。
正弦波是他的基石，他之所以選擇它們，是因為它們使問題變得更加簡單。 他知道，如果溫度分布以正弦波模式開始，那麼當棒冷卻時，它將保持這種模式。
關鍵是，正弦波不會四處移動，它們會留在那裡。 事實上，當它們的熱點冷卻而冷點公升溫時，正弦波就會減弱。 但這種衰減很容易處理，它只是意味著溫度變化會隨著時間的推移趨於平緩。 如下圖所示，初始溫度分布模式（虛線正弦波）逐漸減弱，看起來像乙個固體正弦波。
重要的是，當正弦波減弱時，它們是靜止的。 也就是說，它們是駐波。
如果傅利葉能找到一種方法將原始溫度模式分解為正弦波，他將能夠分別解決每個正弦波的熱流問題。 他已經知道這個問題的答案：每個正弦波都呈指數衰減，其衰減率取決於它有多少個波峰和波谷。 波峰越多的正弦波衰減得更快，因為它們的熱點和冷點更緊密地堆積在一起，這使得它們之間的熱交換更迅速，從而更快地達到熱平衡。 在了解了每個正弦波的衰減後，傅利葉所要做的就是將它們重新組合在一起以解決原來的問題。
這一切的困難在於，傅利葉無意中呼叫了正弦波的無窮級數。 他再一次召喚了無限的“傀儡”來計算微積分，而傅立葉比他的前輩們更拼命地這樣做。 他沒有使用三角形碎片或三角形數的無窮級數和，而是隨意採用了波的無窮級數和。 這讓人想起牛頓對冪函式的無窮級數和的處理，只是牛頓從未聲稱他可以描述具有不連續跳躍或急轉彎等可怕特徵的任意複雜曲線。
另一方面，傅立葉聲稱轉彎和跳躍的曲線並沒有嚇倒他。 此外，傅利葉正弦波自然產生於微分方程本身，從某種意義上說，它們是微分方程的固有振動模式或固有駐波模式，是為熱通量體制作的。 牛頓不認為冪函式是構建塊，而傅立葉則將正弦波視為構建塊，並認為它們與熱流問題有機地匹配。
儘管傅立葉大膽地使用正弦波作為構建塊引發了爭議，並造成了乙個棘手的嚴謹問題（數學家花了乙個世紀的時間才解決它），但在我們這個時代，傅立葉的偉大思想在計算機語音合成器和用於醫學成像的MRI掃瞄等技術中發揮了重要作用。