高中數學圓錐曲線光學性質及相關練習

Mondo 教育 更新 2024-01-30

正如上一推所提到的,圓錐曲線的光學性質更多的是問題的乙個背景,它的內在性質通常在題目中給出,沒有刻意學習,光學性質主要涉及切線和法線以及法線作為角平分線的應用,主要以角度的形式, 所以在求圓錐曲線偏心度的課題中也很常見,本質的解是將角度變換到邊上,然後研究焦點三角形三邊之間的關係。

首先給出圓錐曲線的三條曲線對應的光學性質,由於性質相同,我就不過多解釋:

在上述橢圓和雙曲線中,從焦點射出的光線被曲線反射後,反射光線的反向延伸線穿過另乙個焦點,垂直於反射點切線的直線是焦三角形頂角的角平分線, 所以經常從兩個角度來考察,一是根據焦三角形三個內角的關係來求偏心,二是用角平分定義,即邊的比來求解問題,根據焦三角形的內角求偏心率的方法如下:

由於拋物線只有乙個焦點,除了法線仍然是平分角外,拋物線的獨特光學特性是反射光始終平行於焦點所在的軸,這也是拋物線光學特性最實用的地方。

以上圓錐曲線光學性質的證明不再給出,通俗易懂,無需證明,給出了以光學性質為背景的圓錐曲線的6個問題:

這個問題上次已經給出了,選擇合適的角度作為變數來表示面積,用三角函式有界性求最大值,求解過程並不複雜,這個問題與光學性質無關。

根據a、d、f1共線的光學性質,b、c、f1共線,在直角三角形中知道乙個內角的余弦值可以設定三條邊,三角形周長為4a求設定邊長,然後把它放在乙個焦點三角形中,利用已知的角度求腰部和底部的關係, 這也是解決偏心率的最常見解決方案。

本問題與上乙個問題類似,只不過三角形的周長不再是固定值,可以分別設定焦弦兩段的焦半徑,並可以根據定義表示邊之間的關係,將兩個公式相加可以得到設定邊的長度, 邊緣是解決偏心問題的最常見方法。

本題根據正弦定理得到的結論,利用橢圓焦點三角形的兩個內角求偏心率,從條件可以看出右下角是上上角的一半,求左下角的余弦值,並帶入公式求解, 這個結論不常用,需要引起注意。

pq所在的直線是上頂角的夾角平分線,根據角平分定理可以知道兩個腰長的比值,兩個腰長可以用a表示,然後根據左下角的余弦值結合餘弦定理可以得到偏心率值。

這道題是多項選擇題,難度不大,選項D光通過三點的路徑,根據雙曲線的第乙個定義,可以表示為從左焦點到點m的距離。

本題實際上考察了與雙曲焦點三角形相關的三個內切圓問題,上下焦點三角形的內切圓中心在直線x=a上,與x軸相切到右頂點上,由兩個焦點三角形組成的大三角形的心在相應的對齊上, 而圓心垂直於焦點弦,垂直腳為右焦點,是共性、共性,結論需要牢記。

選項B因為點I是心,所以Mi是角平分線,也是點M處的切線,選項C是乙個比較固定的解思路,這個問題被設定為長線段為HF2,設定角度將半徑轉換為HF2,如果改它來求大三角形內切圓半徑的最大值,解也差不多, 還是要設定角度的,選項D有兩個三角形的共同底,即高度之比,但前提是要知道大三角形的心在對應的對齊上。該問題與本問題中的選項C類似,如下所示:

綜上所述,沒有深入使用所謂的光的性質,只是把握住角度和角度平分線的使用之間的關係,沒有必要多問。

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