1.機械人姿勢的其他表示形式。
上面描述的 3 3 矩陣矩陣描述了姿態、9 個元素和 6 個約束，但實際上只有 3 個獨立的元素。 也就是說，可以使用 3 個單獨的元素來描述機械人姿勢。 常用的是 rpy 角、尤拉角和四元數。
1.1 個 RPY 角落。
RPY角是船舶在海上航行時常用的姿態表示方法，其笛卡爾坐標建立如下：船首的前進方向為Z軸，垂直於甲板平面的法線方向為X軸的向上方向，Y軸由X和Z根據右手定則確定。 將繞 z 軸的旋轉定義為滾動，將旋轉角度定義為; 繞y軸的旋轉是俯仰（pitch），旋轉角度是，繞x軸的旋轉是偏航（yaw），旋轉角度是。 可以看出，rpy這個名字是滾動、俯仰和偏航三個詞的第乙個字母。
本質是乙個圍繞固定坐標系多軸旋轉問題。
有趣的是，逆解是 x-y-z 固定角度坐標系，它等價於旋轉矩陣。 逆解取決於求解一組超越方程：如果旋轉矩陣已知，則有 9 個方程和 3 個未知數。
1.2 尤拉號角。
尤拉角是瑞士數學家萊昂哈德·尤拉提出的一種方法，通過組合三個軸圍繞運動坐標系的旋轉角度來描述剛體的姿態，與RPY角類似，也使用了三個角度變數。 該方法廣泛應用於數學、物理學、航空工程和剛體動力學。
尤拉角有多種型別，三個角的組合不少於兩個軸，可以表示為尤拉角。 第一次旋轉可以繞三個笛卡爾軸中的任何乙個進行，第二次旋轉可以繞另外兩個軸中的乙個進行，只要方向與第二個方向不同就可以進行第三次旋轉，所以也有兩種選擇，使尤拉角總共有3 2 2 12種定義方式。
本質是乙個繞坐標系執行多軸旋轉問題。
1.3 四元數。
一般來說，用尤拉角來表示剛體的姿態或運動是簡單有效的，但在一些特殊情況下，尤拉角會出現所謂的萬能死鎖問題，即尤拉角不能描述剛體的運動。 萬向節死鎖問題的原因是具有有序三角角的尤拉角方法並不能描述所有剛體運動。
1.3.1 四元數的定義和特徵。
1843年，愛爾蘭數學家威廉·羅文·漢密爾頓（William Rowan Hamilton）在研究複數從描述二維空間到高維空間的擴充套件時，創造了乙個超複數：四元數。 四元數可以表示四維空間，由乙個實數單位 1 和三個虛數單位 i、j、k 組成，通常用以下形式表示：
q = a + bi + cj + dk
其中 a、b、c 和 d 都是實數，i、j 和 k 稱為一。
我。 2.三維虛單位，具有以下性質：
i2 = j2 = k2 = -1
ij = -ji = k; jk = -kj = i; ki = -ik = j
為簡單起見，四元數通常寫為實數和向量的組合：
q = (a,v) = (a, b, c, d)
在上面的等式中，v 是乙個向量，v = bi + cj + dk，a、b、c、d 是 4 個有序實數。 四元數可以看作是實數和向量的一般表達形式，實數可以看作是虛部為 0 的四元數，向量可以看作是實部為 0 的四元數，也稱為純四元數。 任何三維向量都可以轉換為純四元數。
四元數具有以下特徵：
萬向節死鎖是可以避免的。
幾何形狀很清晰，只需要 4 個數字來表示任何向量圍繞原點的旋轉。
計算效率高。
比尤拉號角多了乙個維度，這很難理解。
2.一般坐標系的對映和齊次矩陣。
通常，已知向量具有相對坐標系的描述，並且您希望找到其對另乙個坐標系的描述。 考慮到一般情況，它與原點不重合，並且存在偏移向量。 原點向量用 pb 表示，而不是使用原點向量
描述（B 與 A）。 眾所周知，pb 被發現是 pa。
首先，將PB轉換為中間坐標系，與姿態相同，原點重合。 然後：
pa =
pb +
此方程表示將向量描述從乙個坐標系轉換為另乙個坐標系的一般變換對映。 從上面的等式中，我們可以得到另一種新的概念形式：
也就是說，矩陣形式的運算子表示從乙個坐標系到另乙個坐標系的對映。
換句話說：在 4 1 向量中新增的最後乙個分量是“1”。
在 4 4 矩陣中新增的最後一行分量是“[0 0 0 1]”。
我們知道，笛卡爾坐標系中的位置可以用 3 1 或 4 1 向量表示，這取決於它是乘以 3 3 還是 4 4 矩陣。 上面的 4 4 矩陣稱為齊次矩陣。 在其他領域，它可用於投影和比例操作。 它可以看作是表示一般旋轉和平移的簡單矩陣，即線性變換（常用的齊次變換）可以定義坐標系。