在三維空間中有乙個連續可積函式 f（x，y，z）=x 2y 2z 3，它需要計算它在三維區域 v 中的三重積分，該三坐標平面 x=0、y=0 和 z=1 以及旋轉拋物線 x 2y 2=z。
解：由於這個問題涉及到乙個在三維空間中定義的函式和乙個複雜的三維區域，我們需要使用三重積分來求解。 對於這種型別的整合，選擇正確的整合順序至關重要，這將直接影響計算的難易程度。 在這個問題中，我們可以先修復 z 變數，然後在 xy 平面上對區域進行雙積分，然後對 z 進行積分。
1.確定積分範圍：
對於 z，從 0 到 1 進行積分，因為立體區域區域由 z=0 平面和 z=1 平面定義。
對於 x 和 y，在 z 的每個固定值下，它們滿足 x 2y 2=z 的條件，這實際上是在以原點為中心、半徑為 z 的圓上。 我們需要整合這個圈子。
2. 設定積分順序並轉換坐標
為了簡化積分過程，我們可以使用極化變換。 設 x=rcos ， y=rsin，則有 r 2=z，所以 0 r z，0 2。
我們首先從 0 到 2 積分，然後從 0 到 z 積分 r，然後從 0 積分到 1 積分 z。
3. 表示式轉換和積分計算
將 f（x，y，z）=x 2y 2z 3 轉換為極坐標，得到 f（r， ，z）=r 2（cos 2 sin 2 ）z 3=r 2z 3。
因此，原始三重積分可以表示為：
從 0 到 1） （從 0 到 z） （從 0 到 2） r 2z 3rdrd dz
先積分，再積分r，再積分z，得到最終結果。
具體整合步驟如下：
i= （從 0 到 1）z3（ （從 0 到 z）r 3dr）（ 從 0 到 2）d ）dz
從 0 到 1）Z3（R44）|0^(√z)(2π)dz
（從 0 到 1） z 3 （z 2 4） dz
4（從 0 到 1）z 5dz
4z^6/6|0^1
函式 f（x，y，z） 在給定的固體區域 v 中具有三重積分值 24。