張慶華男，北京人，1940年10月生於重慶。 1965年畢業於北京大學數學力學系，主修力學（六年制）。 1981年11月至1985年6月赴美留學，獲美國北卡羅來納州立大學海洋、大氣與地球科學系博士學位。 長期在中國科學院海洋研究所、國家海洋局第一海洋研究所從事動態海洋學和應用數學研究，擔任研究員和博士生導師。 所有從事物理學的理論研究者都不可避免地需要求解各種數學和物理方程，尤其是偏微分方程。 偏微分方程很難直接求解然而在一定條件下求解偏微分方程的問題可以簡化為求解常微分方程，甚至是線性常微分方程問題。 但是這個常微分方程往往是可變係數的奇異方程。我們知道歷史的“特殊功能”理論。它們中的大多數是為構造奇異線性常微分方程的解而開發的。 梳理前輩的研究工作，不難看出現有的工作是將方程的奇異解寫為“奇異因子”和非奇異函式的乘積，這個非奇異函式習慣性地被看作是乙個冪級數，並且這個冪級數要求均勻收斂。 在沒有計算機的時代，冪級數的係數需要通過遞迴公式來獲得，對此對方程的形式和方程中係數的配置（如貝塞爾方程和勒讓德方程）的具體形式都有非常嚴格的要求，這樣才有可能得到方程的解（當然， 不排除使用更複雜的方法，例如復變數函式的方法直接得到某些特定方程的解）。但有一件事是肯定的傳統理論沒有給出求解線性常微分方程的一般方法
另外需要指出的是，當採用傳統方法構造方程的非正則奇異解時，由於尚未找到一致收斂的冪級數，因此證實了在非正則奇點的鄰域中沒有均勻收斂解，而只有所謂的漸近的“形式解”。。但回想起來，這個結論太武斷了！ 只能說，不可能找到滿足一致收斂條件的冪串聯方案，那為什麼一定要有冪串聯方案呢！ 求冪級數的解不是必要條件，不能排除使用其他型別的級數作為基本函式可以滿足一致收斂條件。 在下文中，我們將討論“改進傅利葉方法及其應用”中的以下文章（作者：張慶華。 北京： 科學出版社， 202312）.澄清這個問題
改進傅利葉方法及其應用
《改進傅利葉方法及其應用》是作者近20年來在這一領域逐步完成的十幾篇學術文章的合集。 書中的例子中有很多數學推導和數值計算，我不能保證所有的數學推導和計算都是完美無缺的，但如果讀者是科研人員，只要能理解我給出的求解思路，他就可以根據自己選擇的引數獨立完成求解過程， 而這樣就達到了編纂本書的目的。對於許多數學和物理研究者來說，對於所研究的具體問題，需要獲得清晰的數值結果，雖然可能有很多相關的參考書，而且書的內容包羅永珍，但對於每個問題，都沒有最終結果或獲得最終結果的方法。 在這方面，本書可能對讀者有所幫助
我們知道，n階常微分方程的經典解只需要是n階微分性的函式，一般不要求它是否具有高階微分性。 然而，前人研究所要求的在有界區間[a，b]（根據魏爾斯特拉斯理論）上均勻收斂的冪級數是收斂到無限微性的函式，這不是方程解必須具備的性質，或者換句話說，它是方程解的解析性質的過高要求。
本書中構建的改進的傅利葉級數是在經典週期傅利葉級數之上疊加修飾符。 根據狄利克雷定理，為了逼近具有一致收斂的分段光滑和連續函式，0 階修飾項由階躍函式和線性函式（1 次冪函式）組成。 一階修飾項由階躍函式的 1 階積分和高達 2 階（1 階和 2 次冪函式）的冪函式組成; 2 階修飾符項由階躍函式的 2 階積分和高達 3 階（1 次、2 和 3 次方函式）的冪函式組成。 因此，2階改進傅利葉級數由經典的傅利葉級數加上2階修正器組成。 二階改進傅利葉級數為均勻收斂級數，其一階導數和二階導數也是均勻收斂級數。 因此，奇異二階線性常微分方程的解由奇異因子和二階可微分改進傅利葉級數的乘積組成。 可以看出，如果方程的係數（包括非齊次項）存在斷點（如衝擊波問題），則需要在修正項中保留階躍函式項。 如果方程的係數是連續的，則只需要在修飾符中保留（有限階）冪函式。 對於正則奇點或非正則奇點鄰域的解，除了奇異點因子形式的差異外，改進的傅利葉級數的構造方法相同。 上述二階方程解的構造方法也可以應用於高階方程，例如本書第 5 章第 2 節示例中求解的四階常微分方程。
如果 = 0 是正則奇點，則正則奇點因子為
以下是待定引數; 如果 = 0 是非規則奇點，則非規則奇點因子寫為
確定代表最高奇異階數的數值m，成為構造非正則奇異因子的關鍵！ 第 3 冊第 4 節附錄中的引理 6 給出了確定值 m 的統一方法，這種方法以前從未被系統地研究過。
此外，本書第2章給出了不連續性方程的精確解和示例，明顯優於以前的近似方法。
使用改進的傅利葉級數（我們簡稱改進的傅利葉方法）構造微分方程解的方法分為五章。
第一章是先修課，介紹了改進傅利葉級數的思想及其在求解非奇異方程中的應用。
第 2 章是具有不連續性的方程的解。
第 3 章介紹了構造奇異因子的原理以及改進具有 1、2 和 5 階奇異性的奇異方程（包括正則和非正則奇異性問題）的傅利葉級數所需的約束。
第4章給出了常見六類方程（如勒讓德方程、貝塞爾方程、韋伯方程、匯流跛腳方程、馬蒂厄方程、匯合超比方程等）在實數軸上所有奇異點附近所有奇異點的奇異解的求解方法，並給出了一些計算例項來驗證這些方法。
第5章採用改進的傅利葉方法求解了與海洋中波浪和風波形成相關的海洋動力學問題。
從第二章開始的每一節都是乙個獨立而完整的數學體系，一般不需要參考其他章節的內容。 如果你只對某個特定部分感興趣，你可以直接閱讀，如果你確實需要參考之前的結果，我已經明確指出了它的來源（你總是可以先直接引用它，然後在你有時間的時候探索它的上下文或詳細證明它）。
本書的讀者不需要有很高的數學造詣，只要有紮實的經典微積分知識就足夠了，但需要有邏輯思維能力和耐心仔細推導數學公式即可。 這是數學和物理學研究生一般應該具備的素質。
本文節選自《改進傅利葉方法及其應用》（張慶華著）。 北京： 科學出版社， 202312）一本書“引言”和“後記”。有刪減修改，標題已由編輯新增。
isbn 978-7-03-077628-0
責任編輯：趙經緯、楊然。
本書中介紹的改進的傅利葉級數是乙個可以一致收斂以在閉區間內逼近任何形式的偽光滑函式的級數。 本書提出了：求解具有可變係數的線性常微分方程的一般方法（其中可變係數可以是連續的，也可以是不連續的）; 給出了求解具有不同階奇點的奇點方程（正則或非正則）的原理。 給出了幾種具有奇異異常的常見微分方程的詳細求解過程和計算例項。 圓滿解決了兩個典型的海洋動力學問題（海洋內波與地形的相互作用，風場作用下水-大氣介面的穩定性分析）。
本書適合作為物理學理論研究者的參考書或參考書。
本文編輯：劉思丹）。
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