找到“什麼是重要的問題或定理”通常比解決已知問題或證明已知定理更困難。當你閱讀任何一本古希臘幾何學的書時，你會驚訝於兩千年前提出的定理和證明的簡單和簡潔，你不禁被這種風格所震撼。 然而，這些書往往沒有為讀者提供這些定理最初是如何構思的明確線索。 阿基公尺德的精彩論文“方**”填補了這一空白，揭示了作者自己是如何在知道如何證明定理之前確定定理的真理的。 這是阿基公尺德寫給昔蘭尼數學家埃拉託色尼的一封信中的一段文字。 在這封信中，阿基公尺德簡要介紹了他的《方**》的主要內容：
我將向你展示這些定理是如何在本書中被證明的。 正如我所說，您是一位勤奮而優秀的哲學老師，您對任何數學研究都非常感興趣，因此我認為有必要向您詳細解釋我在本書中採用的這種特殊方法。 通過這種特殊的方法，您將能夠在力學的幫助下理解特定的數學問題。 我相信這將有助於發現這些定理的證明。 有些問題最初是通過物理方法知道的，然後通過幾何方法證明，因為機械方法無法提供真正的證明。 因為解決事先已經掌握了一些相關知識的問題比處理事先沒有一點背景知識的問題要容易得多。 ”
在這裡，阿基公尺德觸及了科學研究和數學史上最重要的思想之一找到“什麼是重要的問題或定理”通常比解決已知問題或證明已知定理更困難。 那麼，阿基公尺德是如何發現這個新定理的呢？ 阿基公尺德利用對力學、平衡理論和槓桿原理的深刻理解，首先在腦海中與已知物體的體積和圖形的面積進行了比較，並粗略地估計了要計算的物體的體積和圖形的面積。 通過這種方式，阿基公尺德發現從幾何上證明未知物體的體積和圖形的面積要容易得多。 隨後，在《方**》中，阿基公尺德指出了一系列人物的重心位置，並給出了幾何證明。
阿基公尺德方法在兩個方面有所不同。 首先，從本質上講，是阿基公尺德將“思想實驗”引入嚴謹的科學研究。 在19世紀，德國物理學家漢斯·克里斯蒂安·奧爾斯特德（Hans Christian Orsted）首次將這種用虛構實驗代替真實實驗的方法命名為“Gedankenexperiment”（在德語中意為“思想引導實驗”）。 在物理學中，這個概念具有很高的地位和價值，在實際實驗之前可以先使用思想實驗，使人們能夠提前了解實驗過程。 或者在某些情況下，由於缺乏必要條件，在現實中根本不可能進行真正的實驗，這就是思想實驗的用武之地，可以幫助人們理解實驗的內容。 其次，也許更重要的是，阿基公尺德將數學從歐幾里得、柏拉圖和其他人建立的人為鏈條中移除，從而將數學解放出來。
對於歐幾里得和柏拉圖來說，只有一種方法來做數學工作：你必須從公理開始，使用你指定的工具，並以固定的邏輯步驟順序證明它們。 然而，擁有自由靈魂的阿基公尺德並不滿足於這種束縛，他動用了所有能想到的方法和證據，提出了新的問題，並用自己的思維解決了這些問題。 他毫不猶豫地探索抽象數學物件（柏拉圖的世界）和物理現實（真實物件）之間的聯絡，並在此過程中繼續發展自己的數學理論。
確立和鞏固阿基公尺德作為“魔術師”地位的最後一項成就是他對微積分的預測。 微積分是數學的乙個分支，由牛頓在17世紀末正式建立和發展。 德國數學家萊布尼茨也幾乎同時獨立研究並提出了該理論。
這些要點背後的基本思想實際上很簡單——當然，在明確指出之後！ 例如，如果要計算由橢圓上的圓弧和圓弧兩端之間的直線包圍的圖形的面積，則可以將圖形分解為許多寬度相等的矩形。 當您將這些矩形的面積相加時，您就會得到您要查詢的面積（圖 3 - 5）。 顯然，分解的矩形越多，這些矩形的面積之和就越接近實際圖形區域。 換句話說，當被分解的矩形數接近無窮大時，將這些矩形的面積相加，得到要計算的圖形的實際面積。 這個“極限”過程是積分。 使用上述方法，阿基公尺德計算了球體、圓錐體、橢圓和拋物線的面積，以及它們形成的物體的體積（通過繞其軸旋轉橢圓或拋物線獲得的物體）。
微分的主要目標之一是計算曲線上給定點處切線的斜率，其中切線和曲線僅在該點相交。 阿基公尺德給出了一種計算特殊螺旋切線斜率的方法。 牛頓和萊布尼茨對微積分進行了進一步的研究。 今天，微積分和由此衍生的數學分支是絕大多數數學模型的基礎，在物理學、工程學、經濟學或流體力學中都有廣泛的應用。
阿基公尺德改變了數學世界，從根本上改變了人們對數學與宇宙關係的理解。 通過證明數學理論與實踐之間令人震驚的密切聯絡，阿基公尺德首次提出，對自然界現象的解釋似乎是在觀察和實驗的基礎上進行數學設計的，而不是神秘主義的。 正是阿基公尺德的努力催生了“數學是宇宙的語言”和“上帝是數學家”的思想和理解。 當然，有些事情阿基公尺德也沒有做。 例如，阿基公尺德從未討論過他建立的數學模型如果應用於實際物理環境可能存在的侷限性。
例如，阿基公尺德的槓桿原理理論沒有考慮槓桿本身的重量，這個原理假設槓桿的硬度是無限的。 可以說，阿基公尺德推開了一扇門，穿過這扇門後，人類就可以用數學模型來解釋自然現象了。 然而，阿基公尺德在有限的程度上推開了這扇門，只是在“挽回面子”的程度上。 這意味著數學模型可能只能代表人類觀察到的東西，但它們不能描述實際存在的物理世界。 希臘數學家雙子座（約西元前 10 年 - 公元 60 年）是第乙個在研究天體運動時詳細討論數學模型和物理解釋之間差異的人。 Germinus指出了天文學家和物理學家之間的區別，據他說，天文學家（或數學家）的工作只是建議構建模型。 事實上，這個模型是他們觀察到的天空中天體運動的表示，物理學家的工作就是解釋這種真實的運動。
您可能感到奇怪，阿基公尺德本人認為他最傑出的成就是發現了圓柱形昆蟲球體的體積（圖 3-6）。 阿基公尺德對他的發現感到非常自豪，他甚至要求將其刻在他的墓碑上作為墓誌銘。 阿基公尺德死後大約 137 年，這位偉大數學家的墳墓被著名的羅馬演說家馬庫斯·圖利烏斯·西塞羅（約西元前 106-43 年）發現。
“當我在西西里島擔任財務主管時，我尋找阿基公尺德的墳墓。 錫拉丘茲人對此一無所知，拒絕承認阿基公尺德墓地的存在。 但這片完全被荊棘覆蓋、被灌木包圍的小區域，確實是偉大的阿基公尺德的墓地。我曾經聽過幾句詩，據說是刻在他的墓碑上的短詩句，指的是圓柱體和球體模型。 為此，我參觀了阿格里金廷門附近的所有墓地，檢視了每個墓地上豎立的墓碑。 最後，我注意到，在一塊墓碑被清理乾淨後，上面隱約可以刻上乙個小圓柱體，上面是乙個球體和一根柱子，我立即意識到並告訴我周圍的錫拉丘茲人這就是我要找的東西。 我們用鐮刀清理了周圍的雜草，並開闢了一條直接通往墓碑的道路。 石碑上的詩句隱約可辨，但每句話的後半部分都因時間的侵蝕而變得模糊不清。 這座城市是古希臘世界最著名的城市之一，也是過去的偉大學習中心，但它對它所設想的最光榮的公民的墓地一無所知。 謝天謝地，我，來自Arpinum的男人，出現並認出了它！ ”
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