世界在變化，我們的數學是一樣的。
習南華. 作者 |習南華.
數學有著悠久的歷史。 數學通常被認為是在西元前 600 年至 300 年之間作為一門獨立的理論學科出現的，歐幾里得的 Prima（約西元前 300 年）就是乙個光輝的例子。 它系統地梳理了古希臘人運用公理體系取得的數學成果，其體系、數學理論的表達和書中所體現的思維方式，對數學乃至科學的發展產生了深遠的影響。 縱觀數學史，《原著》是最有影響力的數學著作。
古希臘的另一部偉大的數學著作是阿波羅尼烏斯的圓錐曲線，它的時間晚於原始曲線。 本書除了綜合前人成果外，還獨具匠心，內容條理井井有條，文筆靈活巧妙。 這本書是圓錐曲線的巔峰之作，後人很難在這個問題上說出任何新的東西，至少在幾何上是這樣。
幾乎在同一時間，還有對數學史的研究。 亞里斯多德（西元前 384-322 年）的學生 Eudemus（約西元前 370-300 年）寫了一部數學史。
人類文明的歷史要長得多。 大約10,000年前，人類開始定居在乙個地區，以農業和畜牧業為生。 文字出現的時間要晚得多，大約在西元前 3200 年左右。 在此之前，人類在數學方面的進步是極其緩慢的，由於發展水平低，對數學的需求極低，從零開始形成抽象的數學概念是極其困難的。
最基本的數學概念，數字和直線，需要很長時間才能形成。
起初，人們對數字的概念與具體的物體有關，例如一棵樹、一塊石頭、兩個人、兩條魚等等。 時間在不斷流逝......漸漸地，人們意識到了一棵樹和一塊石頭等具體物體的共同數值性質，形成了抽象的數字概念。
同樣，在一開始，人們對線的概念與特定的線條形狀有關，例如樹木、樹枝、繩索和物體的邊緣。 時間在不斷流逝......漸漸地，人們開始意識到具體物體的共同形狀特性，如直樹、繃緊的繩索和某些物體的直邊，形成了直線的抽象概念。
數字和直線概念的形成是人類對自然的理解的飛躍。
數學的出現和發展是由現實生活推動的。 首先出現的是算術和幾何。
現實需求在數字之間產生計算（例如，食物分配、商品交換、距離指定日期的天數等）。 所以你需要給這個數字起乙個名字，並能夠把它寫下來並告訴別人。 從寫作之初引入的數字符號在算術的發展中發揮了巨大的作用。 這是引入通用數學符號和公式的第一步。 下一步是引入算術和未知符號，這些符號完成得很晚，並且還在不斷改進，例如，熟悉的加法、減法、乘法和除法符號僅在 15 世紀和 18 世紀之間使用。
算術最初是在巴比倫和埃及發展起來的，因為稅收、測量土地、建築、天文學等的實際需要。 但這裡是特定問題的計算和答案。 這種形式的算術不是數學理論，因為其中沒有數字的一般性質（或定律）。
向理論算術的過渡是漸進的。 古代中國、巴比倫和埃及已經知道超過一百萬的可能性。 這裡已經顯示了序列無限延續的可能性。 但目前尚不清楚人們是否很快意識到這一點。
阿基公尺德（西元前 287-212 年）在《數沙法》中指定了命名大量沙粒數量的方法。 這是當時需要詳細解釋的事情。 今天這不是一件容易的事情。
西元前 3 世紀的希臘人清楚地意識到兩個重要的想法：數字序列可以無限期地持續下去; 你不僅可以使用特定的數字，還可以討論一般數字，建立和證明數字的一般性質。 比如在《原文》中，證明了素數是無限多的，這個結論和證明後面會提到。 因此，算術發展成為理論算術。
理論算術實際上是數論，具體區域性問題的計算不是它的主要內容，但運用概念和推理來建立數的規律和一般性質是它的主要內容。 當然，這反過來又有助於在更高層次上進行特定計算。
理論算術令人信服的根源：它的結論是從邏輯方法對概念的應用中得出的，邏輯方法和算術概念都是基於數千年的實踐，基於世界的客觀規律。
理論算術的概念和結論反映了事物量的性質和關係，總結了大量的實踐經驗，以抽象的形式表達了現實世界中經常和無處不在的那些關係，物件可以是動物、農產品、行星......因此，算術的抽象不是空洞的，而是通過長期的實踐，總結出某些普遍性，使其具有廣泛的應用。 這適用於所有數學，就像任何抽象概念和理論一樣。 廣泛理論應用的可能性取決於其中總結的原始材料的廣度。
抽象有其侷限性：當應用於具體物件時，它只反映物件的乙個方面，而且數量往往不夠。 抽象的概念不可能無限制地應用於任何地方。 乙隻羊和乙隻狼在一起，一公升水和一把泥土混合在一起，都不是應用算術加一的地方。
真理是具體的，數學是抽象的。 抽象在混凝土上的應用通常是一種藝術和技術。 數字的發展也非常有趣。 最初，它是乙個與具體物件相關的數字，然後是乙個抽象數字，然後是乙個一般數字。 每個階段都依賴於以前的概念和積累的經驗。 這也是數學概念形成的基本規律之一。
幾何學的起源和發展與算術相似。 測量和計算土地面積和容器體積、穀倉體積和水利工程的實際需要導致了幾何學的產生和發展，包括長度、面積、體積等概念。 對於農民來說，了解土地的大小有利於預測收成。 對於水利專案，重要的是要知道專案需要多長時間才能完成。
巴比倫人和埃及人是幾何發展早期（大約在西元前 3,000 年至西元前 700 年之間）的領導者。 一開始，幾何學是從經驗中總結出來的多個公式，包括三角形、矩形、梯形、圓形等的面積公式，以及長方體、球體等的體積公式。 埃及人用來計算圓的面積 = （8d 9） 的公式在當時出奇地好，其中 d 是直徑。 這個公式等於取 =3。 在圓的面積公式中1605。幾何問題也是計算中的算術問題。
巴比倫人和埃及人不應該意識到他們的演算法和規則需要基於，或者能夠演繹地從其他結論中推斷出一些結論。 他們得到的公式或定律彼此無關，因此是不系統的。
就在這時，希臘人進來了。 他們去埃及和巴比倫做**，旅行，學習數學和科學。 因此，埃及人和巴比倫人的算術和幾何學在西元前 7 世紀左右傳播到希臘。 然後是星辰時代，有許多思想流派。 有意思的是，當時的中國大致是春秋時期和戰國時期，老子、孔子、墨子、孟子、莊子、荀子、韓非子、韓非子等數百個思想流派紛紛湧現......
希臘古典時期（西元前 600 年至西元前 300 年之間）最有影響力的學派是：愛奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、埃尼亞斯學派、論戰學派、柏拉圖學派、亞里斯多德學派等。
古希臘人對數學最重要的智力貢獻之一是對抽象概念的研究，所有數學結果都必須根據預定的公理進行演繹推導。
這樣，幾何學就朝著幾何理論的方向發展; 引入概念，闡明經驗結論之間的關係，並發現新的結論。 抽象思維在這個過程中起著極其重要的作用。 在真實物體的空間形式的抽象中，出現了幾何的概念：點（沒有大小）、線（沒有寬度和厚度）、表面（沒有厚度）......
幾何學和算術一樣，產生於實踐，並逐漸形成數學理論。 幾何理論是對空間中抽象形式和關係的研究。 這使其有別於其他研究物體空間形式和關係的科學，如天文學、測量學等，或藝術，如繪畫、雕塑等。 抽象的空間形式是無法實驗的，只能用邏輯推理來建立結論之間的聯絡，從已知的結論中可以推導出新的結論。
幾何概念的明顯性、推理的方法、令人信服的結論，都是基於幾千年的實踐和世界的客觀規律，就像算術一樣。
當我們強調跨學科在當今科學發展中的重要性時，我們回顧歷史會發現這是乙個似是而非的表述。 學科的交叉在歷史上一直非常活躍，有必要進一步產生對人類文明和科學發展產生巨大影響的一般概念、方法和理論。 最偉大的科學家，如阿基公尺德、牛頓、萊布尼茨、尤拉、高斯、愛因斯坦等，在許多方面都做出了巨大的貢獻。
可以說，算術和幾何是數學最早的兩個分支，從一開始就密不可分，相互影響。 簡單的長度測量已經是算術和幾何的結合。 要測量物體的長度，請在物體頂部放置乙個長度的單個位置，並計算它被放置了多少次。 第一步（放置）是幾何的，其背後的幾何概念是全等或重合，第二步（數字）是算術。
在測量時，經常發現所選單位不能放在被測物件上整數次。 在這種情況下，必須對單位進行劃分，以便可以使用單位的一部分來更準確地測量物件，即不僅是整數，而且是表示要測量物件長度的分數。 這就是分數的生成方式。 這是幾何學和算術合作的結果，它產生了乙個重要的新概念，即分數，它導致了數字概念從整數到分數的推廣。
無理數的發現也來自幾何學和算術的結合，但無理數的發現是無法通過測量來實現的，因為在實際測量中精度總是有限的，無理數是無窮大的非迴圈小數。
勾股定理告訴我們，單位邊長的平方的對角線長度是 2 的平方根，這是乙個無理數。 這樣，數字的概念得到了進一步發展。 漸漸地，人們將數字理解為數量與以單位為單位的數量之比。
無理數的發現是數學理論在揭示自然規律和現象方面的力量和深刻性的典型例子。 沒有數學，許多現象和規律是無法辨認的。
數的進一步發展是實數的概念，然後是複數的概念，然後是代數結構。
已故偉大的數學家華羅庚對數字和形狀之間的聯絡有精闢的評論：當數字缺乏形式時，它們就不那麼直觀，當它們缺乏形狀時，很難理解其中的細微差別*。
原詩：數與形本來是相依為命的，可以分成兩邊飛; 當數字缺失時，就不那麼直觀，當數字缺失時，很難進入細節; 數字和形狀的組合在各個方面都很好，一切都在隔離和分離中封閉; 別忘了，幾何代數統一，永遠相連，永不分離！ 參見《華羅庚詩選》，中國文史出版社，1986年。
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該書包括關於數學的流行文章和演講稿，以及數學史的翻譯和研討會的成績單。 關於數學的熱門論文包括：數學概述、數學的意義、對稱性、幾何——從熟悉到陌生、基礎數學的一些過去和現在、數學——簡單和高階、朗蘭茲計畫的根源之旅、黎曼猜想——吸引無數英雄四處奔跑、代數簡述、表示——無處不在、幾何表示、卡茲丹-盧茲泰格理論： 起源、發展、影響和一些需要解決的問題。翻譯的文章是Wey的“數學史，為什麼，如何看待它”。 演講稿主要收錄了作者在紀念、慶典、就職、辭職等一些公開場合的講話。 座談會文字記錄是筆者2014年與懷化大學本科生討論的記錄。
該書可供大學生和受過高等教育的普通大眾閱讀，部分內容可供感興趣的中學生和高中畢業的普通大眾閱讀。
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本文授權**來自微信***科學出版社“，摘自《數學：簡單而深刻：習南華的通俗論文集》（習南華撰寫。 北京： 科學出版社， 202312）《數學的意義2》一書。