自旋是物理學的核心概念之一，對它的研究為我們開啟了奇妙的量子世界。 有趣的是，自旋角動量不僅存在於量子系統中，也存在於經典波系統中。 長期以來，人們一直認為只有圓極化的橫波（例如電磁波）才具有自旋，因為彈性縱波（例如流體中的聲波）沒有垂直於傳播方向的極化。 真的是這樣嗎？ 本文將介紹彈性波自旋的探索。
作者 | young
1 簡介：從角動量開始。
我相信你們都玩過陀螺，知道它的樂趣：它旋轉得越快，就越難摔倒。 而當它即將下落時，它不會直接在重力的作用下落下，而是繼續沿對角線旋轉。 這是因為陀螺儀的速度越大，其沿旋轉軸的角動量就越大，改變陀螺儀的方向就越困難。 陀螺儀的這些特性可以用乙個定律來概括：角動量守恆。
如今，以陀螺儀命名的角速度感測器陀螺儀已廣泛應用於各種場景; 無論是大眾消費品、手機，還是衛星，人類探索的前沿，都依靠陀螺儀來感知姿態和方向。 儘管它們與玩具陀螺的結構有很大不同，但它們的核心功能仍然是利用角動量守恆的基本物理定律來實現的。 可以說，角動量相關研究是基礎研究和科技發展中不可缺少的組成部分。
在各種物理系統的研究中，波的角動量相關性質也備受關注。 例如，在電磁波中，有“自旋”角動量，它是由電磁場的極化特性決定的，而“軌道”角動量是由相位的空間分布決定的。 對電磁波的角動量進行合理的表徵和調控，可以幫助人們提高通訊通道和頻寬。 同樣，在機載聲波的研究中，軌道角動量也可以用來增加聲通訊的通道和頻寬，並操縱粒子的旋轉。 與電磁波相比，人們更關注聲波的“軌道”角動量。 因為空氣是一種流體，理想流體中沒有剪下力，所以從一般意義上講，這表明空氣聲波的速度場沒有捲曲。 因此，空氣聲波不具有類似於電磁波的偏振行為，電磁波垂直於傳播方向; 由“聲波沒有旋轉角動量”推導出的“聲波沒有旋轉”也已達成共識。 但是，沒有捲曲和自旋的角動量真的可以等同嗎？
眾所周知，聲波描述了介質的彈性振動。 從廣義上講，聲波不僅包括空氣等流體介質中的聲波，還包括固體聲波。 我們可以將它們統稱為彈性波。 為了系統地回答“空氣聲有沒有自旋角動量”這個問題，我們不妨先看看彈性波的角動量是什麼樣子的。
2 彈性波中的角動量。
在開始討論彈性波攜帶的角動量之前，我們還需要澄清兩個問題：（1）我們所說的“自旋”是量子力學中的自旋嗎？
對於巨集觀系統，可以在不了解量子力學的情況下研究波的自旋。 以電磁波為例，在量子光學中，電磁波的自旋角動量實際上是光子的自旋。 然而，從巨集觀角度來看，圓極化的經典電磁場可以具有自旋角動量，而無需進入量子效應的範疇。
b）既然電磁波的量子化描述是光子，那麼彈性波的量子化描述是什麼？它有旋轉嗎？
彈性波的量子化描述是“聲子”[1]，彈性波和聲子的自旋也可以通過場的量化描述[2]聯絡起來。 雖然早在1961年就有人對聲子自旋進行了研究，但以往的研究更多地集中在“橫波”聲子（即剪下振動的圓極化模式）上，而沒有回答零捲曲的“縱波”是否具有自旋角動量。
本文的以下討論仍然基於經典觀點。
在經典力學中，粒子到不動點 o 的角動量 l 定義為：
其中 r 是從點 o 指向粒子的位置向量，p 是質量的動量（即粒子的質量和速度的乘積），x 表示向量的叉積。 如果將彈性介質視為一系列粒子的集合，那麼彈性波就是這些粒子的振動（如圖 1 所示）。 這些粒子在振動中相對於固定點 o 攜帶的角動量就是彈性波攜帶的角動量。
圖1 彈性波可以看作是一系列粒子的振動。
值得注意的是，經常討論的攜帶彈性波的連續譜需要質量微量元素之間的位置關係，這與自由運動的粒子不同。
圖2 雙星系統。
例如，兩個自由粒子可以執行圖 2 所示的二進位運動。 但對於彈性波來說，介質中任何兩個質量微公尺更像是一塊布上的兩個點。 在保證布料不被撕裂、不整體移動的前提下，這兩個質量微元素不能像上面的雙星系統那樣兩圈跳躍。 因此，彈性波比離散粒子更適合描述為連續的“場”。
在沒有彈性波傳播的情況下，我們讓質量單元相對於坐標系原點的位置向量為 r。 在彈性波的情況下，質量單元的位置為 u（t）+r，其中 u 表示質量單元偏離平衡位置的向量，這是乙個瞬態函式。 通過這種方式，我們得到了乙個表徵彈性波的瞬態向量場：u（r， t），這意味著在每個平衡位置 r 處獲得位移向量 u。 平衡位置r與時間無關，“布”整體不動; 而我們需要這個向量場的導數存在並且是連續的，這樣才能保證“布料”始終光滑，不會被撕裂。 因此，我們不妨將粒子圖替換為向量場u（t）+r，箭頭的起點位於r，箭頭的方向代表你的方向，箭頭的大小代表 |u|。在圖3中的固體表面聲波瑞利波的情況下，粒子集合的振動可以用時變向量場來描述。
圖3 固體中的瑞利波; 左邊的影象是粒子影象，右邊的影象是位移場影象。
那麼，我們應該如何討論這個場的角動量呢？
讓我們聽從牛老爺子的勸告，站在巨人的肩膀上。 邀請數學和物理學的巨人艾美·諾特。 （編者注：參見“數學之神所欽佩的數學家，她的定理成為20世紀物理學的基石。 ）
艾美·諾特（1882-1935）。
她告訴我們，任何物理系統中作用量的微分對稱性都有相應的守恆定律。 簡單地說，我們平移、旋轉甚至扭曲乙個物理系統的坐標系，保持它的作用量不變，那麼我們就可以找到相應的守恆量。 例如，時間平移對稱對應於能量守恆，空間平移對稱對應於動量守恆，空間旋轉對稱對應於角動量守恆。 對於彈性波，我們只需要寫出它的拉格朗日量，然後改變它的分數，把它轉過來，我們就可以得到彈性波的角動量的形式。
至於如何在旋轉操作中分離軌道和自旋，我們可以從“運算元”和旋轉矩陣的語言開始（注意，這並不意味著我們需要考慮量子效應來描述彈性波自旋），給出教科書中常見的“懶惰”理解方式。 當對向量場進行無窮小的旋轉時，旋轉可以理解為兩部分：坐標系的旋轉，在圖4中用藍線標記; 旋轉向量本身，在圖 4 中用紅線突出顯示。 前者給出“軌道”部分，後者給出“旋轉”部分。 我們可以看到“軌道”和“自旋”之間的區別：前者具有空間全域性分布。
其中 im[ ] 表示方括號內的虛部。 在簡諧振動的情況下，位移場u也與速度場成正比。
也可以以速度場的形式寫 s。
軌道角動量和自旋角動量之間的差異最終是不直觀的，無法解釋表示式中有或沒有 r。 為了更清楚地說明差異，我們可以想象乙個非常薄的彈性環，並假設該環僅以軌道角動量密度和自旋角動量密度振動，並檢視相應的振動模式是什麼。 如圖 5 所示，黑色圓圈表示圓環的平衡位置，從該圓圈中繪製一系列代表您的黑色箭頭。
圖5 位移場（黑色箭頭）隨時間的變化，僅針對軌道角動量密度（OAM）。 可以看出，每個位置的位移場沒有改變方向，但振動模式整體是旋轉的。
此時，整個圓環都在“圓圈”中振動，但每個黑色箭頭都不會改變方向，只會改變大小。 這意味著質量單元的運動總是“直線和直線”的，並且對環上固定位置的振動的單次觀察表明質量單元本身沒有旋轉，即自旋角動量密度為零（每個質量單元都沒有自己的圓極化振動）， 但軌道角動量密度不為零——質量元素的振動狀態（或能量流）沿逆時針方向傳播。那麼，如果環上的振動模式不沿環傳播，是不是沒有軌道角動量呢？ 是的，就像圖6所示的環一樣，它的總軌道角動量為零。
圖6 位移場隨時間的變化，僅在自旋角動量密度（SAM）下。 可以看出，振動模式作為乙個整體是不旋轉的，但每個固定位置的位移場卻旋轉。
顯然，環的振動狀態不是順時針或逆時針沿環傳播的，而是代表質量元素位移的黑色向量在旋轉，也就是說，這些質量元素攜帶角動量。 因此，該環的軌道角動量密度為零，但自旋角動量密度不為零。
值得注意的是，從上面的分析中，我們還可以看出，場（波）的自旋是場偏振向量（如位移、速度）隨時間的旋轉，與場向量的空間渦旋無關。 因此，即使在可以傳播純縱波（位移場為零捲曲）的流體中，例如空氣聲波，也可以攜帶自旋角動量[3,4]。 至此，我們終於可以說“聲波沒有旋轉”和“聲波沒有自旋角動量”。
3 為什麼彈性波是“特立獨行”：混合自旋的貢獻。
通過前面的討論，我們對彈性波的自旋角動量是什麼有了大致的了解，也回答了無自旋場是否可以有自旋角動量的問題，下一步就是思考彈性波的自旋有哪些有趣的性質。
上面用紅色標記的部分是水平-垂直交項，在純橫波或純縱波中都不會出現。 我們可以將其稱為彈性波自旋角動量中的“雜化”貢獻。 “混合”自旋的存在導致包含更豐富結構的彈性波自旋。 例如，在表面波系統中，彈性波的自旋分布似乎是“獨特的”[5]。
圖7 a-d分別對應地表水波、地表電磁波、地表空氣聲波和瑞利波。 顏色圖的藍色表示自旋角動量密度方向朝內（負），紅色表示垂直紙張朝外的方向（正）; 黑色箭頭表示向量場的大小和方向，右側繪製相應的橢圓偏振方向。 顯然，最右邊的彈性波面波在自旋分布方面與前三個系統有顯著差異。
圖7所示的幾個表面波的向量場在數學上非常相似[5]，它們的振幅隨著深度的增加呈指數衰減。 儘管前三個場的捲曲和發散不同，但它們的自旋密度（作為時域中的旋轉特性）相似，它們都垂直於紙面向內，並且隨著深度的增加，它們的尺寸逐漸減小。 彈性表面波，即瑞利波，的不同之處在於它們不僅在彈性介質表面具有垂直自旋，而且隨著深度的增加，它們在自旋方向上翻轉。 這是由於存在“混合”自旋，這使得彈性波與其他系統不同。
如今，經典的彈性波理論已廣泛應用於各個領域。 從高階研究、地質勘探、無損檢測和SAW濾波器等工程應用，到基於彈性超材料、光彈性和磁彈性耦合系統的前沿勘探，都需要對彈性波進行調節。 結合成熟的彈性波相關理論，從“彈性自旋”的新視角出發，可以為實際應用提供一些新的思路。 “雜交”帶來的特性也可以激發一些獨特的彈性波控制方法。
例如，在超聲波檢測中，導波模式的激發和識別至關重要。 不同的導波模式對缺陷的響應特性不同，選擇性地激發純導波模式很重要。 這裡我們以彈性波導的基本型別蘭姆波為例，將蘭姆波與其他系統中的類似導波進行比較，看看它們的自旋分布有什麼區別。
在二維平面波導中，根據波導上下邊界振動模態的對稱性，導波可分為對稱模和反對稱模兩種。
圖8 電磁波的對稱和反對稱模式. 黑色箭頭表示電場。 這裡，對稱模態和反對稱模態的上表面和下表面的自旋密度方向是相同的。
圖9 空氣聲波的對稱和反對稱模式. 黑色箭頭表示速度場。 這裡，對稱模態和反對稱模態的上表面和下表面的自旋密度方向是相同的。
圖10 彈性板波（Lamb波）的對稱性和反對稱模式。 黑色箭頭表示位移場。 可以看出，與電磁波和空氣聲波的導波模式不同，蘭姆波的對稱性和反對稱模式在上下表面的自旋密度方向上是相反的。
從圖 8-10 中可以看出，只有彈性波的對稱反對稱模式（sa 模式）表現出相反的自旋角動量分布。 計算結果（圖11）表明，這種S模式和A模式之間的差異是由“雜交”部分的貢獻精確決定的。
圖11 在彈性板波（Lamb波）的A0模式和S0模式下，雜化貢獻（SH）反轉，產生相反的總自旋。
一般來說，為了控制波在兩個邊界上的對稱性，有必要在每個邊界上安裝乙個激勵源，即在不同位置至少安裝兩個激勵源。 但是 Lamb Wave 的 A0 和 S0 模式下彈性自旋的分布是相反的。 這意味著我們只需要在邊界上安裝乙個圓極化極化源（手性源）來控制該邊界附近的彈性自旋方向，從而分別激發對稱和反對稱模式。
圖12 自旋源在單個邊界上對A s模式的反向激勵。 一組相互垂直的壓電片可以控制其附近的極化圖樣，激發彈性自旋訊號的特性。
圖12示出了手性源的實現：一組相互垂直的壓電片可以控制振動在兩個垂直方向上的相位差，從而可以自由控制由手性源激發的振動的自旋方向。 如果我們遵循圖 12 中的模式，其中自旋源激發在薄板的下邊界為正，那麼我們可以觀察到源左側的 A0 模式 （x<0） 和源右側的 S0 模式 （x>0）。
在實驗測量中，可以通過掃瞄磁場並對資料進行二維傅利葉變換來獲得頻域訊號。 通過將測量結果與a0 s0的理論色散進行比較，可以區分測量的模式（圖13）。
圖 13：由 S>0 手性源激發訊號的實驗測量。 在源（x<0）的左側，彈性波的訊號在A0模式的色散曲線上，表明訊號處於A0模式。 源 （x>0） 右側的訊號處於 s0 模式。 這表明實驗測量結果與圖12中的預期結果一致。
4 總結。
一般來說，從經典波的角度來看，彈性波可以攜帶自旋角動量。 我們可以使用諾特定理來嚴格定義彈性波通過位移場的自旋角動量的形式。 特別是自旋角動量的存在並不取決於位移場是否具有捲曲，彈性波位移場還包含捲曲發散度為零的分量，這使得它具有更豐富的自旋角動量結構。 “自旋”的新視角可以與經典的、成熟的彈性波理論相結合，為彈性波的研究提供新的思路。
此外，彈性波的量子化版本，即“聲子”，在上面的討論中沒有太多討論。 作為彈性波場的元激發，聲子被認為是通過量子化過程對應於晶格振動的準粒子。 在倒置空間中，聲子的本徵性質與真實空間中彈性波的整體性質密切相關，類似於電磁波與光子的關係。 因此，聲子自旋和彈性波自旋密切相關[2]。 考慮到角動量守恆的基本定律，彈性波自旋和聲子自旋也可以用光子自旋和電子自旋進行轉換。 在電聲耦合、光機耦合、磁彈性耦合和壓電耦合方面，彈性波自旋和聲子自旋的引入可以幫助我們更好地探索自旋相關的感測和控制技術。
角動量的研究是基礎研究和科技發展中不可缺少的一環，希望隨著我們對彈性波角動量認識的加深，能夠探索出越來越多有趣、新穎、實用的內容。
引用。 1] 物理 51， 855 （2022）.
2] chinese physics letters 39, 126301 (2022)
3] proc. natl. acad. sci. 115, 9951 (2018)
4] national science review 6, 707(2019)
5] phys. rev. lett. 131, 136102 (2023)
本文由科普中國明星計畫專案支援，由中國科協科普部出品，中國科技出版社監理，北京中科銀河文化傳媒***