正弦波也存在於**中，這是結他、小提琴和鋼琴弦的固有振動模式。 通過將牛頓力學和萊布尼茨的微積分應用於繃緊弦的理想模型，我們可以推導出這種振動的偏微分方程。 在這個模型中，弦被看作是併排堆疊的無窮小粒子的連續陣列，相鄰粒子通過彈性力連線。
在任何 t 時間，弦中的每個粒子都根據它所承受的力而移動，這些力是由相鄰粒子相互拉扯時弦的張力產生的。 在這些力已知的前提下，每個粒子都會根據牛頓定律 f=馬 運動，這個過程發生在弦的每個點 x 處。 得到的微分方程取決於 x 和 t，是偏微分方程的另乙個例子。 這個方程被稱為波動方程，果然，它表明振動弦的典型運動是波。
就像在熱流問題中一樣，一些正弦波被證明是有效的，因為它們在振動時會自我再生。 如果弦的末端是固定的，這些正弦波就不能傳播，而只是停留在原位並振動。 如果乙個理想的琴弦經歷了可以忽略不計的空氣阻力和內摩擦，並開始以正弦波模式振動，那麼它就會永遠這樣振動，振動頻率永遠不會改變。 由於所有這些原因，正弦波是解決這個問題的理想構建塊。
其他振型同樣可以由無限數量的正弦波求和。 例如，在 18 世紀使用的羽管鍵琴中，一根弦經常被用作撥動的羽毛管，在釋放之前形成三角形。
雖然三角波有乙個銳角，但它也可以表示為乙個無窮大的級數和形式，是乙個完全平滑的正弦波。 換句話說，我們可以在不使用尖角的情況下建立尖角。 在下圖中，乙個近似的三角波是由正弦波通過三個越來越忠實的近似值構成的，如圖底部的虛線所示。
第乙個近似的結果是具有最佳可能振幅的正弦波（“最優”意味著它最小化了三角波的總平方誤差）。 第二近似的結果是兩個正弦波的最優和。 第三近似的結果是三個正弦波的最優和。 最佳正弦波的幅度遵循傅立葉發現的公式：
這個無窮級數和傅利葉級數稱為三角波。 注意獨特的數字模式：正弦波中只出現奇數頻率，例如 1、3、5、7......，它們對應的振幅是交替加號和減號的奇數平方的倒數。 不幸的是，我無法用幾句話解釋為什麼這個公式有效; 我們必須研究很多具體的微積分，才能弄清楚公式中那些神奇的振幅是從哪裡來的。 但關鍵是傅立葉知道如何計算它們。 有了這個公式，他能夠從更簡單的正弦波合成三角波或任何其他任意複雜的曲線。
傅立葉的好主意是合成器的基礎，我們用乙個注釋（比如c上面的A）作為例子來說明原因。 為了產生準確的音高，我們可以敲擊振動頻率設定為 440 個週期的音叉。 音叉由乙個手柄和兩個金屬叉組成，當用橡皮錘敲擊音叉時，金屬叉每秒來回振動 440 次。
金屬叉子的振動會擾亂附近的空氣：當它們向外振動時，它們會壓縮空氣; 然而，當向內振動時，它們會稀釋周圍的空氣。 空氣分子的來回產生正弦壓力擾動，我們的耳朵將其視為純音——一種單調而沉悶的音符，缺乏**家族所說的音色。 但是，我們可以在小提琴或鋼琴上彈奏相同的A音符，聽起來生動而溫暖。 雖然小提琴或鋼琴也以 440 個週期和秒的基本頻率振動，但由於泛音不同，它們產生的聲音與音叉（和其他樂器）不同。 泛音是三角波公式中 sin3x 和 sin5x 等波的第乙個術語，它通過新增數倍的基頻來為音符新增顏色。
除了頻率為440個週期的正弦波外，產生的三角波還包括乙個正弦波泛音，其頻率是正弦波的三倍（3 440 = 1 320個週期的秒）。 這種泛音不如基本正弦模式強，其相對振幅僅為基本模式的1 9，其他奇數模式較弱。 從角度來看，振幅決定了泛音的響度，而小提琴聲音的豐富程度與其柔和的泛音和響亮的泛音的具體組合有關。
傅立葉思想的統一力量在於，任何樂器的聲音都可以用無數個音叉合成。 我們所要做的就是在正確的時間以正確的力量敲擊音叉，即使我們使用的是單調的正弦波，我們也能出色地演奏小提琴、鋼琴甚至小號或雙簧管的聲音。 這就是第乙個合成器的基本工作方式：通過組合大量的正弦波，它們可以再現任何樂器的聲音。
高中時，我上了一門電子課，感受到了正弦波的作用。 那是在 20 世紀滯脹的 70 年代，當時電子**是在乙個看起來像老式配電盤的大盒子裡生產的。 我和我的同學們將電纜插入各種插座，然後來回轉動旋鈕，我們會聽到正弦波、方波和三角波。 我還記得正弦波的聲音乾淨而寬廣，像笛子一樣; 方波的聲音聽起來尖銳刺耳，像是火警; 三角波的聲音聽起來嘈雜嘈雜。 通過轉動其中乙個旋鈕，我們可以改變波的頻率，提高和降低其音調。
轉動另乙個旋鈕，我們可以改變波的振幅，使其聽起來更響亮或更柔和。 通過同時插入多根電纜，我們可以將波及其泛音以不同的形式組合在一起，這就是我們對抽象傅利葉理論的感官體驗。 我們可以聽到在示波器上看到的波的形狀。 如今，您可以在網際網絡上嘗試所有這些，搜尋諸如“三角形聲音”之類的東西，您會找到乙個互動式演示程式。
更重要的是，傅立葉在開發微積分粒子連續體的運動和變化方式方面邁出了第一步。 除了牛頓對離散粒子運動的研究之外，這是另一項重大進步。 在隨後的幾個世紀裡，科學家們繼續使用傅利葉方法來解決其他連續體的行為，例如波音 787 機翼的顫動、面部手術後患者的外觀、血液通過動脈的流動或之後地球的隆隆聲。
如今，這些技術在科學和工程中無處不在，它們被用於分析各種波現象，包括：熱核**產生的衝擊波，用於通訊的無線電波，促進腸道營養吸收並將廢物推向正確方向的消化波; 大腦中與癲癇和帕金森氏症震顫相關的病理性無線電波，高速公路上的交通擁堵浪潮（如幽靈堵塞的刺激性現象，交通無緣無故地整體減速）。 傅利葉思想及其分支可以幫助我們從數學上理解所有這些波動現象，解釋和消除它們（有時借助公式，有時通過大規模計算機模擬），在某些情況下，控制或消除它們。