現在最古老的數學問題在哪裡？
乙個幾十年前的結論被乙個新的證明賦予了新的生命：所有整數都可以表示為分數之和。
數論者一直在尋找隱藏的結構。 當他們遇到乙個不可避免的數字模式時，他們會測試它，並試圖探索在什麼情況下不會出現給定的模式，儘管經常失敗。
牛津大學（University of Oxford）的托馬斯·布魯姆（Thomas Bloom）最近的一項研究回答了乙個可以追溯到古埃及的問題，突出了這種數字模型的生命力。
達特茅斯學院（Dartmouth College）的卡爾·波梅蘭斯（Carl Pomelance）說：“這可能是數學中最古老的問題。 ”
這個問題涉及分子為 1 的分數，例如 1 2、1 7、1 122這些“單位分數”對古埃及人來說非常重要，因為他們的數字系統只包括這種型別的分數。 它們只能將複數分數表示為單位分數的總和，例如 3 4 = 1 2 + 1 4
20世紀70年代，人們對這種加法的研究興趣迎來了高潮。 當時，保羅·埃爾多斯（Paul Erdos）和羅納德·格雷厄姆（Ronald Graham）提出了乙個問題：設計乙個不包含倒數和子集為1的整數集有多難？ 例如，乙個集合不滿足條件，因為它包含子集，並且這三個數的倒數之和為 1：1 2+1 3+1 6=1
更準確地說，Erdos 和 Graham 猜想，任何足夠大的整數集比例取樣都必須包含乙個倒數加到 1 的子集。 如果初始集合滿足取樣足夠整數的簡單條件（此條件也稱為“正密度”），則肯定存在倒數和 1 的子集，即使集合中的數字是故意選擇的，使其難以找到這樣的子集。
蒙特婁大學的安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville）說：“我只是認為這是乙個不可能的問題，任何正常人都不可能做到。 我沒有看到任何明顯的工具可以解決這個問題。 ”
布魯姆對鄂爾多斯和格雷厄姆問題的擔憂源於一項任務：去年9月，他被要求向牛津大學的乙個閱讀小組展示一篇20年前的文章。
那篇文章的作者是一位名叫厄尼·克魯特（Ernie Croot）的數學家，他解決了鄂爾多斯-格雷厄姆問題，即所謂的彩色版本。 在著色問題中，整數被隨機劃分為不同顏色的桶：有的在藍色桶中，有的在紅色桶中，依此類推。 鄂爾多斯和格雷厄姆**，無論使用多少個不同顏色的桶來對這些數字進行分類，至少有乙個桶包含倒數之和的子集為 1。
克魯特從調和分析（與微積分密切相關的數學分支）中引入了一種強大的新方法，以證實鄂爾多斯-格雷厄姆猜想。 他的**發表在該領域的頂級期刊《數學年鑑》上。
喬治亞大學的喬治斯·佩特里迪斯（Giorgis Petridis）說：“克魯埃的論點讀起來很愉快，它不僅需要創造力、天賦，還需要大量的技術能力。 ”
然而，儘管克魯埃的**令人印象深刻，但它未能回答鄂爾多斯-格雷厄姆猜想的密度版本。 因為 Klute 利用了著色桶分類的便利性，這在實數論中是不存在的。
在將數字劃分為多個桶時，Klut 希望避免使用具有較大質因數的復合數。 這些數字的倒數加起來通常為具有大分母的分數，而不是簡化為可以加到 1 的簡單分數。 因此，Klut 證明了，如果乙個集合包含足夠數量的小質因數，它必須包含倒數之和為 1 的子集。
克魯特證明，至少有乙個槍管總是滿足這一特性，這足以證明著色版本的結果是合理的。 但更一般地說，數學家不能簡單地選擇使用桶來說明問題。 他們可能需要在不包含小質因數的桶中找到解決方案，在這種情況下，Kluet 的方法將行不通。
這是我無法迴避的問題。 克魯特說。 但二十年後，當布魯姆準備與他的閱讀小組分享克魯特的**時，他意識到他可以從克魯特介紹的方法中獲得更多。
“我想剋魯特的方法實際上比乍一看要強大得多，所以我考慮了幾個星期，終於發現它有多強大，”布魯姆說。 ”
Kluet 的證明依賴於一種稱為指數求和的積分方法，這是一種檢測問題中有多少個整數解的表示式。 在我們討論的這個問題的情況下，它能夠指示有多少子集包含單位分數之和等於 1 的情況。 但有乙個問題：幾乎不可能準確地求解這些指數，甚至估計它們都可能非常困難。
Kluet 的估計證明他正在處理的積分是正的，這一性質意味著在他正在處理的初始集合中至少有乙個解。
奧地利格拉茨理工大學的克里斯蒂安·埃爾肖爾茨（Christian Elsholtz）說：“他用一種近似的方法解決了這個問題，這就足夠了。 ”
布魯姆調整了克魯特的策略，以處理具有更大質因數的數字。 但這樣做需要克服一系列問題，這些問題使證明指數和大於零變得更加困難（因此是鄂爾多斯-格雷厄姆猜想）。
Klutt 和 Bloom 的方法實際上將積分分解為多個部分，並證明主項是正的並且足夠大，而其他項（其中一些可能是負的）太小而無法忽略。
但 Klut 忽略了具有非常大的質因數的項，這些項受到 Bloom 方法的良好調節。 因此，在處理那些可能引起麻煩的數字時，有更多的迴旋餘地。 儘管如此，在證明給定項很小時，仍然有可能遇到麻煩的數字，但布魯姆已經證明這種情況很少見。
不列顛哥倫比亞大學的格雷格·馬丁（Greg Martin）說：“我們總是在估計乙個指數的總和，但是當指數本身包含很多術語時，我們需要非常樂觀，我們總能找到一種方法來估計它，以證明它是乙個很大的積極因素。 ”
Bloom 沒有使用這種方法來查詢倒數總和 1 的數字集，而是使用它來查詢倒數相加以獲得較小分母的分數的數字集，然後使用這些數字來獲得所需的結果。
“老實說，你找不到乙個 1，你可能會找到乙個 1 3，但如果你以三種不同的方式找到三個 1 和 3，把它們加起來，你會得到 1。””
這讓他對這種數字模式的穩定性有了更深入的理解：每當乙個集合在數線上包含一些微小但足夠大的片段（整數部分）時——無論片段看起來如何——都不可避免地要找到這些整齊的單位分數的總和。
不列顛哥倫比亞大學的伊莎貝拉·阿巴（Izabella Aba）說：“這是一項了不起的成就，組合和解析數論在過去20年中取得了長足的進步，這使得以全新的視角和更有效的方法解決舊問題成為可能。 ”
同時，它給數學家留下了乙個新問題，即沒有一組子集的單位分數之和等於 1。 這方面的乙個例子是素數的集合——沒有素數的子集的總和等於 1——這個性質也適用於其他“更大”的無限集合，因為它們的倒數之和比素數的倒數之和接近無窮大的速度更快。 在隱藏結構重新浮出水面並且倒數之和不可避免地變為 1 之前，這些倒數總和的增長速度有多快？
鄂爾多斯格雷厄姆猜想是乙個非常自然的問題，但並不是全部答案。 ——佩特里迪斯
作者： Jordana Cepelewicz
翻譯：中本聰。
審稿人：有很多興趣。
原文鏈結：數學的“有史以來最古老的問題”得到了新的答案
譯文中表達的觀點僅代表作者的觀點。
它不代表中國科學院物理研究所的立場。
編輯：有很多興趣。